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データベーススペシャリスト試験 2009年 午前2 問08

和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。ここで、-は差演算、∩は共通集合演算を表す。
ア：R−(R−S)R-(R-S)（正解）
イ：R−(S−R)R-(S-R)
ウ：(R−S)−(S−R)(R-S)-(S-R)
エ：S−(R−S)S-(R-S)

解説

和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。【午前2 解説】

要点まとめ

  • 結論：和両立な関係RとSに対して、R∩SR \cap SはR−(R−S)R - (R - S)と等しいです。
  • 根拠：R−SR - SはRにあってSにない要素の集合であり、これをRから除くとRとSの共通部分が残ります。
  • 差がつくポイント：集合演算の差と共通部分の関係を正確に理解し、和両立の意味を踏まえて式変形できるかが重要です。

正解の理由

選択肢アのR−(R−S)R - (R - S)は、Rの中から「RにあってSにない要素」を除いた集合です。つまり、Rに含まれ、かつSにも含まれる要素、すなわちR∩SR \cap Sと同じ集合を表します。和両立とはRとSの差集合が空であることを意味し、R−SR - SとS−RS - Rが共に空集合であるため、R∩SR \cap SはRRやSSの要素そのものとなります。したがって、R−(R−S)R - (R - S)はR∩SR \cap Sと等しいです。

よくある誤解

差演算の順序を誤解し、R−SR - SとS−RS - Rを混同することがあります。また、和両立の意味を「共通部分が空」と誤解しがちですが、正しくは「差集合が空」です。

解法ステップ

  1. 和両立の定義を確認する：R−S=∅R - S = \emptysetかつS−R=∅S - R = \emptyset
  2. R∩SR \cap Sの定義を確認する：RRかつSSに含まれる要素の集合
  3. R−(R−S)R - (R - S)の意味を考える：RRからRRにあってSSにない要素を除く
  4. 和両立の条件よりR−S=∅R - S = \emptysetなので、R−(R−S)=R−∅=RR - (R - S) = R - \emptyset = R
  5. R=SR = Sとなるため、R∩S=R=R−(R−S)R \cap S = R = R - (R - S)となることを確認する

選択肢別の誤答解説

  • ア: 正解。R−(R−S)R - (R - S)はR∩SR \cap Sと等しい。
  • イ: R−(S−R)R - (S - R)はRRからSSにあってRRにない要素を除くが、S−RS - RはRRにないSSの要素なのでRRには含まれず、結果はRRのまま変わらない。R∩SR \cap Sとは異なる。
  • ウ: (R−S)−(S−R)(R - S) - (S - R)はRRにあってSSにない要素から、SSにあってRRにない要素を除くが、和両立ならR−SR - SもS−RS - Rも空集合で結果は空集合となり、R∩SR \cap Sとは異なる。
  • エ: S−(R−S)S - (R - S)はSSからRRにあってSSにない要素を除くが、R−SR - SはSSにない要素なのでSSから除く必要がなく、SSのまま。R∩SR \cap Sとは異なる。

補足コラム

和両立（和両立性）は関係データベースや集合論で重要な概念で、2つの関係が互いに重複しないことを意味します。つまり、R−S=∅R - S = \emptysetかつS−R=∅S - R = \emptysetであり、結果的にR=SR = Sとなります。これを理解すると、集合演算の式変形がスムーズになります。

FAQ

Q: 和両立とは何ですか？
A: 和両立とは、2つの関係や集合が互いに重複しないこと、つまり差集合が空集合である状態を指します。
Q: なぜR−(R−S)R - (R - S)がR∩SR \cap Sと等しいのですか？
A: R−SR - SはRにあってSにない要素の集合なので、それをRから除くとRとSの共通部分だけが残るためです。
関連キーワード: 和両立, 集合演算, 差集合, 共通集合, 関係データベース, 午前2, 情報処理技術者試験
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