解説

問題の整理

• サーバが1台ある。
• クライアントは3台ある。
• システムが利用可能な条件：
  「サーバが稼働していて、かつ少なくとも1台のクライアントが稼働している」
  と読み取ることも考えられますが、問題文は
  「サーバと少なくともいずれか1台のクライアントが稼働していればよい」
  とあります。これは、「サーバが稼働している」または「少なくとも1台のクライアントが稼働している」という意味と解釈できます。

問題の意味するシステム利用可能条件

• 「サーバが稼働している」 ⇨ 確率で言うと $1-\alpha$ がサーバ稼働確率
• 「クライアントが少なくとも1台稼働している」 ⇨ クライアント3台のうち少なくとも1台稼働
  各クライアントが稼働していない確率が $b$ なので、稼働している確率は $1-b$。

システム利用不可の状態を考える

• サーバが稼働していない（確率 $\alpha$）
• 3台のクライアントがすべて稼働していない（各クライアント非稼働確率 $b$ なので、3台とも非稼働は $b^3$）

選択肢の検証

• ア: $1 - (1 - \alpha)(1 - b^3)$
  これは全体の確率1から「サーバ稼働かつ全クライアント停止していない」確率を引いています。
  実際に計算すると、
  $1 - (1-\alpha)(1-b^3) = 1 - \left(1 - \alpha - b^3 + \alpha b^3\right) = \alpha + b^3 - \alpha b^3$
  ここで、$b^3$ は「全クライアント停止」確率、$\alpha$ はサーバ停止確率であり、
  $\alpha + b^3 - \alpha b^3$ は
  「サーバが停止しているか、全クライアントが停止しているか、またはその両方」
  つまり、サーバもクライアントも両方稼働していない（利用不可）状態を含んでいて適切です。
• イ: $1 - (1-\alpha)(1-b)^3$
  $(1-b)^3$ は「3台すべてが稼働している確率」であって「1台以上稼働している確率」ではないため不適切。
• ウ: $(1-\alpha)(1-b)^3$
  これも「サーバ稼働かつ3台すべてのクライアント稼働」であって、
  「いずれか1台のクライアントが稼働」という条件とは合いません。
• エ: $1 - \alpha b^3$
  これは「利用不可の確率」$\alpha b^3$の補数である「利用可能の確率」に関する式なので、このままでは不適切。

まとめ

• 利用不可の確率は
  $\alpha \times b^3$
  すなわちサーバが停止していて、かつ3台すべてのクライアントが停止している確率。
• 選択肢アはこれを利用可能確率として考え、全体1から補数をとった形で表現されている。

補足：理由の確認

【まとめ】