データベーススペシャリスト試験 2017年午前2 問12

和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。ここで, -は差演算, ∩は共通集合演算を表す。

ア：

R-(R-S)

（正解）

イ：

R-(S-R)

ウ：

(R-S)-(S-R)

エ：

S-(R-S)

解説

和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか【午前2 解説】

要点まとめ

結論：和両立な関係RとSに対し、 $R \cap S$ は $R - (R - S)$ と等しいです。
根拠： $R - S$ はRにあってSにない要素の集合であり、これをRから除くとRとSの共通部分が残ります。
差がつくポイント：和両立の定義を理解し、差集合の意味を正確に把握することが重要です。

正解の理由

選択肢アの

R - (R - S)

は、Rの中から「RにあってSにない要素」を除いた集合です。つまり、RとSの両方に含まれる要素だけが残り、これはまさに

R \cap S

の定義と一致します。和両立であるため、

R - S

と

S - R

は互いに重ならず、差集合の操作が明確に機能します。

よくある誤解

差集合の順序を誤解し、

R - S

と

S - R

を混同することがあります。和両立の条件を知らずに計算すると誤った結果を導きやすいです。

解法ステップ

和両立の定義を確認する（ $R - S$ と $S - R$ が空集合であること）。
$R \cap S$ の定義を思い出す（両方に含まれる要素の集合）。
選択肢の式を展開し、 $R - (R - S)$ が $R \cap S$ と等しいことを確認する。
他の選択肢が $R \cap S$ と異なることを検証する。

選択肢別の誤答解説

ア: $R - (R - S)$
正解。RからRにあってSにない要素を除くことで $R \cap S$ を得る。
イ: $R - (S - R)$
誤り。 $S - R$ はSにあってRにない要素であり、これをRから除いても $R \cap S$ にはならない。
ウ: $(R - S) - (S - R)$
誤り。 $R - S$ と $S - R$ は和両立で重ならないため、これは $R - S$ のままで $R \cap S$ とは異なる。
エ: $S - (R - S)$
誤り。 $R - S$ はRにあってSにない要素であり、これをSから除いても $R \cap S$ にはならない。

補足コラム

和両立（disjointness）とは、二つの集合の差集合が互いに空である状態を指します。つまり、

R - S

と

S - R

が空集合である場合、

R

と

S

は重複しない部分を持たないため、共通部分の扱いが単純になります。集合演算の基本を押さえることで、複雑な関係式も正確に理解できます。

FAQ

Q: 和両立とは何ですか？
A: 和両立とは、二つの集合の差集合が互いに空集合である状態を指し、重複する要素がないことを意味します。

Q: 差集合

R - S

はどのような集合ですか？
A:

R - S

は、集合Rに含まれるが集合Sには含まれない要素の集合です。

R \cap S

を差集合で表す方法は？
A:

R \cap S

は

R - (R - S)

や

S - (S - R)

のように、片方の集合からその集合にしかない要素を除くことで表せます。

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