エンベデッドシステムスペシャリスト 2016年午前2 問06

問題文

故障発生率が

1.0 \times 1 0^{- 6}

回／秒である機器10,000台が稼働している。330時間経過後に、故障していない機器の平均台数に最も近いものはどれか。ここで、故障発生率は経過時間によらず一定で、故障した機器は修理しない。また、必要であれば、故障発生率を

λ

回／秒、稼働時間を

t

秒とする次の指数関数のグラフから値を読み取って、計算に使用してよい。

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選択肢

ア：3,000（正解）

イ：5,000

ウ：7,000

エ：9,000

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機器の生存率と故障台数【午前2解説】

正解の理由

故障発生率が一定で、故障した機器を修理しない場合、時間 (t) 後に機器が故障していない確率は、指数関数

F (t) = exp (- λ t)

で求められます。

330時間を秒に直すと、

330 \times 3, 600 = 1, 188, 000

秒です。したがって、

λ t = 1.0 \times 1 0^{- 6} \times 1, 188, 000 = 1.188

となります。グラフから

F (t)

はおよそ

0.3

と読み取れます。故障していない機器の平均台数は、

10, 000 \times 0.3 \approx 3, 000 台

です。よって、最も近い選択肢はアです。

解法ステップ

稼働時間を秒に換算します。
$330 \times 3, 600 = 1, 188, 000$ 秒です。
故障発生率 $λ$ と稼働時間 $t$ の積を求めます。
$λ t = 1.188$ です。
指数関数 $F (t) = exp (- λ t)$ の値を求めます。
$exp (- 1.188) \approx 0.305$ です。
この確率を稼働台数に掛けます。
$10, 000 \times 0.305 \approx 3, 050$ 台なので、選択肢ではアが最も近い値です。

選択肢別の誤答解説

ア：約3,050台に最も近い値です。故障していない機器の平均台数として適切です。
イ：5,000台は稼働台数の半数です。生存率が約 $0.5$ となるのは $λ t \approx 0.693$ の場合で、この問題の $λ t = 1.188$ とは一致しません。
ウ：7,000台は生存率を約 $0.7$ と見積もった値です。実際の生存率は約 $0.305$ です。
エ：9,000台は生存率を約 $0.9$ と見積もった値です。故障発生率と稼働時間を使って計算した生存率より大きすぎます。

よくある誤解

故障発生率を故障確率と同じものと考える
故障発生率は単位時間当たりの値です。稼働時間との積を求めてから、指数関数に当てはめます。
330時間を秒に換算しない
故障発生率の単位は「回／秒」です。時間の単位を秒にそろえて計算する必要があります。
故障台数をそのまま求める
求めるのは故障していない機器の平均台数です。全台数に生存確率を掛けます。

補足コラム

故障発生率が

λ = 1.0 \times 1 0^{- 6}

回／秒の場合、平均故障間隔（MTBF）は

\frac{1}{λ} = 1, 000, 000 秒

です。時間に換算すると約278時間です。この問題の330時間はMTBFより長いため、生存率が半分を下回ることも確認できます。

FAQ

Q. 計算で得た約3,050台は、必ずその台数が稼働しているという意味ですか？
A. いいえ。これは故障の確率に基づく平均台数です。実際の台数は、偶然の故障状況によって前後します。

Q. 指数関数の値は、グラフから読み取る必要がありますか？
A. 問題文でグラフの利用が認められている場合は、

λ t = 1.188

付近の値を読み取れば十分です。およそ

0.3

なので、平均台数は約3,000台です。

関連キーワード: 故障発生率、指数分布、生存率、平均故障間隔、MTBF

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