ITパスポート 2009年春期問64

問題文

2進数10110を3倍したものはどれか。

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選択肢

ア：111010

イ：111110

ウ：1000010（正解）

エ：10110000

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2進数10110を3倍したものはどれか【ITパスポート解説】

正解の理由

2進数（バイナリ）は桁ごとに2の冪で重みが決まります。与えられた数

1011 0_{2}

を10進数に直すと

2 2_{10}

です。これを3倍すると

6 6_{10}

になります。

6 6_{10}

を2進数に戻すと

100001 0_{2}

です。したがって選択肢の中ではウが正しい答えです。

（補足）2進数

1011 0_{2}

の各桁の重み：

1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22

。

解法ステップ

2進数を10進数に変換する方法
- 桁を右から0番目として、各桁に $2^{n}$ を掛けて合計する。
- 例： $1011 0_{2} = 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 0 \cdot 2^{0} = 22$ 。
10進数で3倍する
- $22 \times 3 = 66$ 。
10進数を2進数に戻す
- 66 を2の冪で表すと $64 + 2 = 2^{6} + 2^{1}$ 。よって $100001 0_{2}$ 。
もう一つの速い方法（2進数操作）
- 「3倍」は「2倍＋1倍」。2倍は左に1ビットシフト（桁を一つ左へ移す）と同じ。
- まず左に1ビットシフト： $1011 0_{2} ≪ 1 = 10110 0_{2}$ （これは44）
- それに元の数を加える： $10110 0_{2} + 01011 0_{2} = 100001 0_{2}$ （66）
- これでウが得られる。

（計算の追加説明）

101100
+010110
=1000010 （桁上げ（繰り上がり）が発生して左端が1になる）

選択肢別の誤答解説

ア: 111010₂
- 10進数に直すと $32 + 16 + 8 + 2 = 58$ 。元の数の3倍（66）とは異なる。
イ: 111110₂
- 10進数では $32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62$ 。66ではない。
ウ: 1000010₂
- 10進数で $64 + 2 = 66$ 。元の $22$ の3倍に一致するので正解。
エ: 10110000₂
- 10進数では $128 + 32 + 16 = 176$ 。大幅に異なる。

よくある誤解

「2進数で桁を右に足すと3倍になる」と誤解する
- 2進数で桁を右に足す（桁を追加・連結）すると数が変わるが、それは乗算ではなく単なる表記の変更です。3倍は「左シフト（2倍）＋元の数（1倍）」で求まります。
繰り上がり（キャリー）を忘れる
- ビット同士の足し算で繰り上がりが発生すると、結果の桁数が増えます。加算時に繰り上がり扱いを忘れると誤答になります。

補足コラム

「左シフト」はプログラミングやデジタル回路でよく使われます。左に1ビットシフトする操作は数を2倍にするのと同じです。例えば、10進数の20を「2倍」するのに位を一つ上げる（10倍）とは違い、2進数では左シフトが非常に直観的で高速です。
逆に右シフトは2で割る（切り捨て）に相当します。
3倍は「2倍＋1倍」。5倍は「4倍＋1倍」で、4倍は左に2ビットシフトする、など小さい定数倍はシフトと足し算で効率的に計算できます。これはコンピュータ内部での計算最適化の基礎です。

FAQ

Q. 2進数の左シフトは本当に常に2倍ですか？
A. はい。符号なし整数の範囲では左に1ビット移動するとその数は2倍になります。ただし、ビット数に上限がありオーバーフロー（桁あふれ）がある環境では注意が必要です。

Q. 3倍を別の方法で速く計算するコツはありますか？
A. 「3 = 2 + 1」を利用して、左シフト（2倍）と元の数の加算で求めるのが一番速く確実です。多くの手計算問題はこの方法が簡単です。

Q. 2進数を10進数に変換するのが面倒です。直接2進数同士で計算するには？
A. 左シフト＋加算の方法が直接2進数同士で行う最も簡単な方法です。桁を揃えて足し算し、繰り上がりを処理すれば良いです。

（練習）別の例：

110 1_{2}

（13）を3倍 → 左シフトで

1101 0_{2}

（26）＋

0110 1_{2}

（13）＝

10011 1_{2}

（39）。

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