ITパスポート 2010年 春期 問52

2進数1.101を10進数で表現したものはどれか。【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. まず整数部と小数部を分けます。ここでは整数部が 1、小数部が 101 です。
2. 各桁に対応する2のべき乗を書きます（小数部は負の指数）:
   • 整数部 1 は $2^0$（=1）
   • 小数部の最初の 1 は $2^{-1}$（=0.5）
   • 次の 0 は $2^{-2}$（=0.25、ただし係数が0なので寄与なし）
   • 最後の 1 は $2^{-3}$（=0.125）
3. それぞれを掛けて足します: $1+0.5+0+0.125=1.625$
4. よって 10進数での値は 1.625 です。

• 0.1₂ = 0.5、0.01₂ = 0.25、0.001₂ = 0.125 なので、0.101₂ = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625。整数部1を足して1.625。

選択肢別の誤答解説

• ア: 1.2
  • 1.2 は十進表記の1.2です。二進数 1.101 を単に小数点以下の数字を十進のまま読んでしまう間違いです。実際の値は 1.625 なので異なります。
• イ: 1.5
  • これは小数部の最初の桁だけ（$2^{-1}=0.5$）足して、最後の $2^{-3}=0.125$ を忘れてしまった場合の値です。$1+0.5=1.5$ になりますが正しくはさらに $0.125$ が加わります。
• ウ: 1.505
  • これは誤った桁の重み付け（例えば $2^{-3}$ を 0.005 のように十進の小数として扱う）から生じる典型的な混同です。正しい寄与は $0.125$ であり、1.505 とは一致しません。
• エ: 1.625
  • 小数部の各桁を $2^{-1},2^{-2},2^{-3}$ として計算すると 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625。整数部の1を足して 1.625 となり、正しい値です。

よくある誤解

1. 「小数点以下の桁は十進の0.1,0.01のように考える」
   • 小数点以下の桁は基数（ここでは2）の負のべき乗です。十進の0.1とは意味が違います。
2. 「右の桁ほど小さくなるが、どのくらいかを忘れる」
   • 小数第1位は $2^{-1}=0.5$、第2位は $2^{-2}=0.25$、第3位は $2^{-3}=0.125$ と決まっていることを覚えておくとミスが減ります。
3. 「桁を見落として計算してしまう」
   • 小数部の桁数が多いと最後の桁を忘れがちです。1桁ずつ確実に計算しましょう。

補足コラム

• 一般化すると、2進数の小数 $0.b_1{b}_2{b}_3{\dots }_2$ は ${\sum }_{i=1}^{\infty }{b}_i\times 2^{-i}$ と表せます。ここで $b_i$ は0か1です。
• 逆に10進数の小数を2進数に直す簡単な方法（小数部の変換）は「2倍して整数部分を取り出す」方法です。例：0.625 を2倍すると
  • 0.625×2 = 1.25 → 整数部1（最初の桁）
  • 0.25×2 = 0.5 → 整数部0（次の桁）
  • 0.5×2 = 1.0 → 整数部1（次の桁） つまり 0.625₁₀ = 0.101₂ なので 1.625₁₀ = 1.101₂ と確認できます。
• 簡単なプログラム例（Python）:

def bin_frac_to_decimal(bin_str):
    # bin_str 例: "1.101"
    int_part, frac_part = bin_str.split('.')
    int_val = int(int_part, 2)
    frac_val = sum(int(digit) * 2**-(i+1) for i, digit in enumerate(frac_part))
    return int_val + frac_val

print(bin_frac_to_decimal("1.101"))  # 1.625

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