ITパスポート 2010年 春期 問67

順序付き数の組合せと不等式【ITパスポート解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題が扱う集合サイズを確認：A,Bともに $0$〜$9$ の10個の値を取る → 全組合せは $10\times 10=100$ 行。
2. 残したい条件を明確にする：「A > B」の行を残す（A ≤ Bを取り除く）。
3. Aの各値ごとにBの取り得る値の数を数える：
   • A=0のときBは0未満の値がない → 0行
   • A=1のときBは {0} → 1行
   • …
   • A=9のときBは {0,1,...,8} → 9行
4. これらを足し合わせる：$0+1+2+\cdots +9=45$。
   別の見方として、一般にn個の値（ここではn=10）を使う場合、A>Bの組は $\frac{n(n-1)}{2}$ で表せ、$\frac{10\times 9}{2}=45$ となる。

選択肢別の誤答解説

• ア: 40
  何らかの数え落とし（例えばA=9のとき9を8と誤って数えた等）による不足。正しくは0〜9の合計で45となるため40は合いません。
• イ: 45
  各Aに対するBの取り得る数 $0,1,\dots ,9$ を足した合計45が正解です。
• ウ: 50
  「全体の半分」として直感的に100÷2=50としてしまった誤り。A>BとA<Bは対称で各45行、等しい場合（A=B）が10行あるため、半分にはなりません。
• エ: 55
  逆に「A ≤ Bを取り除く」と読み違えてA ≥ Bを残す（またはA<Bを残す）など、条件を反対に解釈した結果の数字に見えます。実際、A ≤ Bの行は残る数ではなく取り除かれる数で、A ≤ Bの合計は55（=100−45）ですが、問題は取り除いた後に「残る」行を問うているため55は誤りです。

よくある誤解

• AとBの関係を「A ≥ Bを取り除く」と誤読する。問題文の向き（<= vs >=）を確認することが重要です。
• 表を「順不同の組（組合せ）」と勘違いし、(10 choose 2) = 45や半分の考えを乱用してしまう。ここでは順序（AとBの列名）がある「順序付けられた組」です。ただし結果的にA>Bの数は組合せの数と一致します（理由は下に説明）。
• 直感で「半分」や「数直線の対称性」を当てはめてしまう。A=Bが10個ある点を見落とすと50と誤答しやすいです。

補足コラム

count = sum(1 for a in range(10) for b in range(10) if a > b)
print(count)  # 45

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