ITパスポート 2010年 春期 問77

2台の処理装置が直列に接続されているシステムの稼働率のグラフ【ITパスポート 解説】

正解の理由

• $p=0$ と $p=1$ では $y=p$ と一致する（0 と 1 で等しい）。
• 0＜$p$＜1 の範囲では $p^2<p$ なので、対角線 $y=p$（破線）より下に位置する。
• 傾きは $dy/dp=2p$ で、$p$ が小さいとき傾きは小さく、$p$ が大きくなると傾きが大きくなる（曲線は上に凸＝後半で急に上がる形）。
  以上から、選択肢のうち描画が「破線より常に下にあり、初期ほとんど平らで後半で急に上がる形」を示している イ が正しい図です。

解法ステップ

1. 問題文の意味を整理：システムは2台とも正常でないと動かない→これは「直列（シリーズ）」の構成。
2. 故障の発生が独立→各装置の正常確率を掛け算できる。
3. 同じ稼働率 $p$ の両装置なので、システム稼働率 = $p\times p=p^2$。
4. $y=p^2$ のグラフの形を確認：0〜1で下に凸、対角線 $y=p$ より下にある（端点で一致）。図の中でこれに一致するパネルを選ぶ（イ）。

• $p=0.1$ のとき $y=0.01$（かなり小さい）。
• $p=0.5$ のとき $y=0.25$。
• $p=0.9$ のとき $y=0.81$。
  小さい $p$ ほどシステム全体の稼働率が急激に低くなることが分かります。

選択肢別の誤答解説

• ア：実線が破線より常に上にある形。シリーズ構成でシステムが個々の装置より常に高い稼働率になることはあり得ません（並列冗長ならあり得るが、問題は直列）。よって不正解です。
• イ：実線が破線より常に下にあり、初めは平坦で後半で急上昇する上に凸の形。$y=p^2$ の形と一致するため正解です。
• ウ：実線が破線と交差して下から上へ移るS字調。等しい稼働率の同一仕様の装置で直列の場合、$p^2$ は破線と中間で交差することはない（0 と 1 以外で等しくならない）。したがって不正解です。
• エ：領域によって破線の上下を行き来する不規則な形。$y=p^2$ は単純な上に凸の単調増加曲線なので、このような曲率の変化は起こりません。不正解です。

よくある誤解

1. 「合成稼働率は足し算（p+p）？」
   → システムが両方正常である必要がある場合は掛け算（p×p）です。足すのは「どちらか一方でも良い（並列）」の場合に間違いやすいです。
2. 「直列でもシステムの方が稼働率が高くなることがあるだろう」
   → 同一の装置なら直列では常にシステム稼働率 ≤ 個々の稼働率（0と1を除く）。直列は信頼性を下げる効果があります。
3. 「独立性のルールを忘れる」
   → 故障が独立でない（相関がある）場合は単純に掛けられません。例えば共通原因で両方が止まるなら計算が変わります。

補足コラム

• 並列（冗長）構成の例：2台の装置のうち少なくとも1台が動けばよい場合、システム稼働率は $$1-(1-p{)}^2=2p-p^2$$ となり、これは対角線 $y=p$ より上に位置します（冗長により信頼性が上がる）。
• 一般化：同じ稼働率の装置が n 台直列ならシステム稼働率は $p^n$ です。台数が増えるほど全体の信頼度は下がります（冗長設計は並列で行う）。
• 実務的観点：システム設計では、可用性（稼働率）の向上に冗長化（並列）やフェイルオーバー（予備機の自動切替）を用いますが、コストや管理の複雑さの増加とトレードオフになります。

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