ITパスポート 2011年 秋期 問72

五つの升目の白黒で表す数の問題【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 五つの升目の重みを左から $w_1,w_2,w_3,w_4,w_5$ と置く（黒はその重みを足す）。
2. 与えられた四つの表現を式にする：
   • 2 の行：□ □ □ ■ □ → $w_4=2$
   • 5 の行：□ □ ■ □ ■ → $w_3+w_5=5$
   • 10 の行：□ ■ □ ■ □ → $w_2+w_4=10$
   • 21 の行：■ □ ■ □ ■ → $w_1+w_3+w_5=21$
3. $w_4=2$ を $w_2+w_4=10$ に代入して $w_2=8$ を得る。
4. $w_3+w_5=5$ を $w_1+(w_3+w_5)=21$ に代入して $w_1=16$ を得る。
5. 残る $w_3,w_5$ は正の互いに異なる値で合計が5となる組で自然に $4$ と $1$（位置の順で $w_3=4,w_5=1$）となる。よって重みは左から $16,8,4,2,1$。
6. 問題の pattern 「■■□□□」は $w_1+w_2=16+8=24$。よって答えはウ（24）。

選択肢別の誤答解説

• ア: 12
  12 は $8+4$（$w_2+w_3$）に相当します。図で言えば □ ■ ■ □ □（左から2番目と3番目が黒）になります。問題の図は最初の2つ（1番目と2番目）が黒なので不一致です。
• イ: 20
  20 は $16+4$（$w_1+w_3$）に相当します。図では ■ □ ■ □ □（1番目と3番目が黒）。今回の図（■■□□□）とは異なります。
• ウ: 24（正解）
  24 は $16+8$（$w_1+w_2$）で、■■□□□ に対応します。
• エ: 30
  30 は $16+8+4+2$（$w_1+w_2+w_3+w_4$）に相当し、図なら ■ ■ ■ ■ □（左から4つが黒）。今回の図とは一致しません。

よくある誤解

1. 「升目の値は任意だ」と考える誤解
   与えられた複数の例から連立式を立てれば重みは一意に決まります。適当な値で当てはめるだけでは解けないことがあります。
2. 「右端が最小とは限らない」と勘違いすること
   実際には右端が $1$、左へ行くほど2倍になる（$1,2,4,8,16$）という規則に気づけば速く解けます。問題文で位置ごとに“ある決まった異なる正の値”とあるので、順序に意味があります。
3. 「黒＝0、白＝1」と取り違えるミス
   問題文で黒が“ある値を意味する”とあるため、黒を1、白を0として扱います（逆にすると全て結果が違ってしまいます）。

補足コラム

• 位取り記数法（positional notation：桁の位置で値が決まる表し方）
  今回は 5 桁の位取りで、各桁に重みが割り当てられています。与えられた重みが $16,8,4,2,1$ なので、これは二進法の 5 ビット（bit：binary digit）表現そのものです。5 ビットで表せる整数は $0$ から $2^5-1=31$ までです。
• 覚え方のコツ
  与えられた数に 2 が含まれていれば、その位置の重みは 2 です。そこから「2の冪（べき）」に当てはめて考えると早いです。今回の例は二進数に対応しており、左から $2^4,2^3,2^2,2^1,2^0$ に相当します。

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