ITパスポート 2013年 春期 問76

共通鍵暗号方式で必要な鍵の数（8人）【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 問題の意味を確認する：共通鍵は「2人で1つ」を共有する。つまり「何通りの2人ペア」ができるかを数える。
2. 順序は問わない（A-B と B-A は同じ）ため、組合せの数を数える。
3. 組合せの公式 $C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2}$ を使う。
4. $n=8$ を代入して計算：$\frac{8\times 7}{2}=28$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 12
  12 は 8人の場合の組合せの正しい数ではありません。12 は例えば5人での組合せ $C(5,2)=10$ や6人での $C(6,2)=15$ と合致しないため、単純に人数を数え間違えたか、一部の組だけを数えたミスが考えられます。
• イ: 16
  16 は 8人に対して「各人が2人と鍵を共有する」といった誤った仮定（8×2=16）や、2のべき乗（2^4=16）を連想してしまった計算ミスの可能性があります。相互通信の組合せを正しく考えると一致しません。
• ウ: 28
  上述の通り、組合せの公式 $C(8,2)=\frac{8\times 7}{2}=28$ で求まります。4人の例（6個）と同じ考え方を拡張した結果です。
• エ: 32
  32 は例えば「各人が4つずつ鍵を持つ」といった数え方（8×4/？）や2のべき乗（2^5=32）を誤って当てはめた場合に出る数です。正しい組合せ計算では一致しません。

よくある誤解

1. 順序を区別してしまう（A→B と B→A を別とする）
   • 順序を区別すると $n(n-1)$（8人なら56）になり、重複して数え上げてしまいます。共通鍵はペア単位で１つなので順序は区別しません。
2. 「各人が1つの鍵を持てば良い」と考える
   • 共通鍵方式では、単に「1つ持つ」だけでは全ての相手と安全に個別通信できません。全ペアが異なる鍵を必要とするため、人数が増えると鍵の数は急増します。
3. 共通鍵方式と公開鍵方式（非対称暗号）を混同する
   • 公開鍵方式は各人が鍵対（公開鍵と秘密鍵）を持つため、ペアごとに鍵を用意する必要がありません。用途によって適切な方式を選ぶ点を混同しやすいです。

補足コラム

• 一般式：任意の人数 $n$ のとき、必要な共通鍵の数は $C(n,2)=\frac{n(n-1)}{2}$ です。増える割合はおよそ $n^2/2$ なので、人数が増えると鍵管理が急速に難しくなります（スケーラビリティの問題）。
• 公開鍵（非対称鍵）方式の利点：各人が1組の鍵ペア（公開鍵と秘密鍵）を持つだけで済むため、鍵の数はほぼ $n$ に比例します。公開鍵方式（非対称暗号：公開鍵と秘密鍵を用いる方式）は鍵配布の負担を軽くしますが、処理負荷や運用上の注意点（証明書など）があります。
• 実務では、共通鍵を多数扱う必要がある場面では「鍵配布サーバ」や「鍵交換プロトコル」を使って安全に共有します。

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