ITパスポート 2013年 春期 問82

排他的論理和の式【ITパスポート解説】

正解の理由

解法ステップ

1. XORの基本形を覚える：$(A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)$。意味は「AとBが異なるときに真」。
2. 各選択肢を「真理値表で4通りを確かめる」か「論理式を変形して標準形と比べる」。
3. 時短法：式を見てすぐに同値変形ができる公式を使う。たとえば $(X\vee Y)\wedge (X\vee Z)=X\vee (Y\wedge Z)$ 等の分配・帰結則で簡単化する。
4. イ については次のように変形する（下記の展開を参照）。

選択肢別の誤答解説

• ア: $(A\vee B)\wedge (A\vee \neg B)$
  恒等式 $(X\vee Y)\wedge (X\vee Z)=X\vee (Y\wedge Z)$ を使うと、$A\vee (B\wedge \neg B)=A\vee 0=A$。つまりこの式は単に「A」と同値で、XORではありません。
• イ: $(A\vee B)\wedge (\neg A\vee \neg B)$
  上で示した通り $(A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)$ に簡約し、XOR（排他的論理和）と同値です。問題の真理値表と一致します。
• ウ: $((\neg A)\vee B)\wedge (A\vee (\neg B))$
  展開して整理すると $(\neg A\wedge \neg B)\vee (A\wedge B)$ になり、これはAとBが等しいときに真になる「同値（XNOR）」の式です。具体例で確かめると分かりやすいです：A=0,B=0 のときウの式は1ですが、XORは0なので等しくありません。したがって誤答です。
• エ: $((\neg A)\vee B)\wedge ((\neg A)\vee (\neg B))$
  同様に $(\neg A)\vee (B\wedge \neg B)=(\neg A)\vee 0=\neg A$ となり「NOT A」に等しい式です。XORとは異なります。

よくある誤解

• 「OR と XOR は同じ」と思う誤り：OR（論理和）は「どちらか一方または両方が真」で、XORは「どちらか一方だけが真」です。A=1,B=1のときの扱いが違います。
• 式の見た目だけで等価と決めつける：似た形でも約分や分配をすると結果が変わることがあります。簡単な代入（例えば A=0,B=0）で逆例を見つけるのが有効です。
• 論理変形の基本公式を忘れる：分配律やDe Morganの法則を知らないと短時間で判断できません。覚えておくと速いです。

補足コラム

• XORの別表現例：
  • $(A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)$（和の積和形：覚えやすい）
  • $(A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$（「AかBのどちらか」で「両方ではない」）
  • ビット演算では XOR を $A\oplus B$ と書き、0/1 の足し算を 2 で割った余り（mod 2）とも考えられます。
• 試験の時間短縮テクニック：まずA=BのときとA≠Bのときを考え、式がどちらで真になるかを見ればXORかどうかがすぐ分かる場合があります。

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