ITパスポート 2014年 秋期 問84

図のシステムの稼働率を同じにするには？【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. システムXの稼働率を確認する。
   • 装置AだけなのでシステムX = 装置A = 0.8。
2. システムYの稼働率の式を立てる（並列の基本公式）。
   • 並列：システムが止まるのは「両方とも止まる」場合のみ。
   • 装置Bの稼働率を$p_B=0.6$、装置Cを$p_C$とすると、停止確率は$(1-p_B)(1-p_C)$。
   • したがってシステムYの稼働率は $1-(1-p_B)(1-p_C)$。
3. 等式を解く。システムXと同じにするので $$1-(1-0.6)(1-p_C)=0.8$$ を解く。
   計算： $$\begin{gathered} 1-0.4(1-p_C)=0.8 \\ 0.4(1-p_C)=0.2 \\ 1-p_C=0.5 \\ {p}_C=0.5 \end{gathered}$$
4. 結果：装置Cの稼働率は0.5（ウ）。

選択肢別の誤答解説

• ア: 0.3
  誤りです。もし$p_C=0.3$ならシステムYは $1-0.4(1-0.3)=1-0.4\times 0.7=1-0.28=0.72$ となり、0.8に届きません。つまり低すぎます。
• イ: 0.4
  誤りです。$p_C=0.4$ のときシステムYは $1-0.4(0.6)=1-0.24=0.76$ で、これも0.8未満です。
• ウ: 0.5
  正しいです。上の計算どおりシステムYは $1-0.4(0.5)=1-0.2=0.8$ となり、システムXと同じ稼働率になります。
• エ: 0.6
  誤りです。$p_C=0.6$ のときシステムYは $1-0.4(0.4)=1-0.16=0.84$ となり、0.8を超えてしまいます（高すぎる）。

よくある誤解

1. 「並列は単純に足す」
   • 誤りです。並列の稼働率は単純に$p_B+p_C$とはならず、重複（両方動く場合）を二重に数えないようにする必要があります。正しくは $1-(1-p_B)(1-p_C)$ です。
2. 「直列・並列の違いを混同する」
   • 直列（series）は全てが動いて初めてシステムが動くため稼働率は掛け算になります（例：$p_A\times p_B$）。並列は「どれか1つで良い」なので、補集合（1−両方止まる確率）で考えます。
3. 「独立性を無視する」
   • 問題では装置の故障が独立であると仮定しています。現実には共通原因で同時に故障することもあり、その場合は今回の計算は使えません。

補足コラム

• なぜ並列の式が $1-(1-p_B)(1-p_C)$ になるのか？
  確率の考え方で「少なくとも1つが動く」＝「全てが止まる」の否定です。全てが止まる確率は $(1-p_B)(1-p_C)$。その否定（少なくとも1つ動く確率）が1から引いた値です。直感的には「全部ダメの確率を引けば残りが良い確率」という理解で十分です。
• 実務での応用例：
  サーバを2台並列にしておけば、どちらかが故障してもサービス継続できます。今回のように稼働率を計算すると、目標の可用性を満たすために補助機器の品質（稼働率）をどの程度にすべきかがわかります。

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