ITパスポート 2014年 春期 問63

a, b, c, d, e, fの並べ方（aとbが隣同士になる場合）【ITパスポート 解説】

正解の理由

• 順列（permutation：順番を考える並べ方）
• 階乗（factorial：$n!$ は $1\times 2\times \cdots \times n$ を意味します。例：$5!=120$）

解法ステップ

1. 「a と b が隣り合う」条件を満たすように、a と b を1つのブロックと考える。
   • ブロック = {ab}（ただし内部の順序はまだ考慮しない）
2. 全体の要素数はブロック1個 + 他の4文字 = 5要素になる。これらの並べ方は $5!$ 通り。
   • $5!=120$
3. ブロック内部の並び替え（a,b の順）は 2 通り（ab または ba）。
4. よって最終的な通り数は $2\times 5!=240$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 120
  • これは $5!$ の値です。ブロックとして5要素にして並べる考えは正しいですが、ブロック内部の2通り（ab と ba）を掛け忘れています。
• イ: 240
  • 正しい。上の通り、$2\times 5!$ により 240 通りになります。
• ウ: 720
  • これは全ての並べ方、つまり制約なしの6文字の順列 $6!=720$ です。条件（aとbが隣り合う）を考慮していません。
• エ: 1,440
  • これは $2\times 6!$（720の2倍）に相当する数です。過剰に掛け算してしまった結果で、現実の配置数を越えています。意味のある数え方ではありません。

よくある誤解

1. 「ブロックにしたらそれで終わり」として、ブロック内部の並び（ab と ba）を忘れるミス。
   • ブロックを1つの要素と見なして並べた後に、内部の順序も考える必要があります。
2. 「条件あり」と「条件なし」を混同して全体の $6!$ をそのまま答えるミス。
   • 条件がある場合は全通りからの引き算（全通り − 条件を満たさない通り）やブロック法で考えますが、今回はブロック法が最短です。
3. 順列（順番を考える）と組合せ（順番を考えない）を取り違える。
   • 並べる問題では順番が重要なので順列の考え方を使います。

補足コラム

• まず r 個を1つのブロックと見なすと、要素数は $n-r+1$ になるので並べ方は $(n-r+1)!$ 通り。
• ブロック内部の並べ替えは $r!$ 通り。
  したがって合計は $(n-r+1)!\times r!$ です。

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