ITパスポート 2016年秋期問61

問題文

パスワードの長さが

8

文字で、各文字に使用できる文字の種類が

M

種類のとき、設定できるパスワードの総数を表す式はどれか。

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選択肢

ア：

8 \times M

イ：

8^{M}

ウ：

M^{8} - 1

エ：

M^{8}

（正解）

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パスワードの総数（長さ8、文字種類M）【ITパスポート解説】

正解の理由

パスワードは「長さが8文字」で「各文字に使える種類がM種類」とあります。各文字位置ごとにM通りの選択が独立してあるため、場合の数の乗法原理（掛け算で数えるルール）を使います。つまり1文字目に

M

通り、2文字目に

M

通り・・・8文字目に

M

通りあるので、総数は

M \times M \times \dots \times M = M^{8}

となります。よって正しい式はエの

M^{8}

です。

（補足：乗法原理＝「順に選ぶとき、各段階の選択肢数を掛ける」ルールです。）

解法ステップ

問題文を確認：長さ＝8、各文字の選択肢＝ $M$ 種類。文字は繰り返し使用できる想定（通常のパスワードでは同じ文字を何度でも使えます）。
1文字目の選び方は $M$ 通り、2文字目も $M$ 通り……8文字目も $M$ 通り。
乗法原理により、総数は $M \times M \times \dots \times M$ （8個）＝ $M^{8}$ 。
計算例：もし大文字26、小文字26、数字10を使うなら $M = 62$ で総数は $6 2^{8}$ 。

Pythonで計算する例：

M = 62
total = M**8
print(total)  # 62の8乗

選択肢別の誤答解説

ア: $8 \times M$
これは「どの文字を選ぶか（M通り）」と「何番目の位置に入れるか（8通り）」を掛けた形です。もし「1文字だけ選んで、その文字をどの位置に置くか」なら使えますが、ここは8文字全てを決める問題なので不足です。8文字それぞれを決める場合は掛け算を8回行う必要があります。
イ: $8^{M}$
これは「8種類の選択肢があって、それをM回選ぶ」という形に見えます。変数の扱いが逆で、意味が合っていません。問題では「文字の種類がM」で「長さが8」ですから、底がM、指数が8（ $M^{8}$ ）が正しい向きです。
ウ: $M^{8} - 1$
$M^{8}$ から1を引くのは「全通りのうち1つを除外」する意図になります。例えば「全部が同じ文字のパスワードを除く」など特別な条件があれば使えますが、問題文にそのような条件はありません。したがって不要な引き算です。
エ: $M^{8}$
各文字位置ごとに $M$ 通りあり、独立して選べるので8回掛け合わせた結果が $M^{8}$ となり正解です。ここで正解の選択肢はエです。

よくある誤解

「8×Mでよい」と勘違いする
→ これは「1文字だけ選ぶ」ような状況の式です。8文字全部を決める問題では、各文字ごとの選択を掛け合わせます。
文字の重複が許されるか不明な場合の混乱
→ 問題は通常「各文字に使用できる文字の種類がM種類」と書かれているとき、同じ文字を複数回使える（重複あり）と解釈します。重複を禁止するなら別途明記されます。
変数の場所（底と指数）を逆にする
→ $M^{8}$ と $8^{M}$ を取り違えるケースがあります。文章中の「長さ」「種類」のどちらが指数に対応するかを確認しましょう。長さが指数です。

補足コラム

場合の数の基本は「乗法原理」です。日常で言えば「朝ごはんにパン3種、ジュース2種なら組合せは3×2＝6通り」という考え方と同じです。
パスワードの強度について：同じ長さでも $M$ が大きいほど総組合せは急激に増えます。暗号学的な強さを考えると、総数の対数（ビット数）を見るのが便利です。ビット数は $lo g_{2} (M^{8}) = 8 lo g_{2} M$ です。
繰り返しを許さない場合の式は順列で $M (M - 1) (M - 2) \dots (M - 7)$ になります（ $M \geq 8$ の場合）。

FAQ

Q1. この問題は文字の重複が許される前提ですか？
A1. はい。特に断りがない限り、同じ文字を何度でも使える前提で考えます。繰り返し禁止なら問題文に明記されます。

Q2. パスワードの長さが可変の場合はどう数えますか？
A2. 例えば長さが1〜8文字許されるなら、総数は

M^{1} + M^{2} + \dots + M^{8} = \sum_{k = 1}^{8} M^{k}

です。

Q3. より強いパスワードにするには？
A3. 長さを増やすか、使用できる文字種類

M

を増やす（大文字・小文字・数字・記号を含める）と良いです。どちらも総組合せを大きくします。

関連キーワード: パスワード、場合の数、乗法原理、指数、組合せ、順列、セキュリティ、繰り返し許可、計算例

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