ITパスポート 2016年秋期問91

問題文

2進数1011と2進数101を乗算した結果の2進数はどれか。

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選択肢

ア：1111

イ：10000

ウ：101111

エ：110111（正解）

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2進数の乗算（1011 × 101）【ITパスポート解説】

正解の理由

2進数は「0 と 1 のみ」を使う数の表し方です。
与えられた二つの数を10進数に直すと、

101 1_{2} = 1 1_{10}

、

10 1_{2} = 5_{10}

となり、

11 \times 5 = 55

です。
55 を2進数で表すと

11011 1_{2}

です。したがって、選択肢の中ではエ（110111）が正しい答えです。

解法ステップ

ここでは「桁ごとの掛け算（筆算）」と「ビットシフトを使う速い方法」の2通りを示します。どちらも理解しておくと便利です。

桁ごとの筆算（わかりやすい手順）

   1011   （掛けられる数）
 x  101   （掛ける数）
-------
   1011   ← 101 の最下位ビット1に対する 1011 × 1（そのまま）
  00000   ← 次のビット0に対する 1011 × 0 を1桁左にシフト（結果は0）
 1011    ← 次のビット1に対する 1011 × 1 を2桁左にシフト
-------
 110111

上の足し算を行うと

11011 1_{2}

になります。

ビットシフトを使う（計算が速い）

2進数で桁を左に1つずらすと「2倍」になります（右に1つで1/2）。
$10 1_{2}$ は $4 + 1$ なので、 $101 1_{2} \times 10 1_{2} = 101 1_{2} \times (4 + 1)$ 。
$101 1_{2}$ を2桁左にずらす（4倍）と $10110 0_{2}$ 。
これに元の $101 1_{2}$ を足すと $10110 0_{2} + 101 1_{2} = 11011 1_{2}$ 。

どちらの方法でも結果は

11011 1_{2}

、つまり選択肢のエになります。

選択肢別の誤答解説

ア: 1111
1111 は $1 5_{10}$ を表します。桁の足し間違いや、掛け算を足し算（11+5=16 ではない）と混同した可能性があります。結果が小さすぎます。
イ: 10000
10000 は $1 6_{10}$ （2^4）です。これも結果が小さすぎます。桁のシフトを1回（×2）だけ行ってしまった時の誤りに似ています。
ウ: 101111
101111 は $4 7_{10}$ です。元の数のビットを単純に並べ替えたか、桁の重なりでキャリー（繰り上がり）を忘れた計算ミスの可能性があります。
エ: 110111
110111 は $5 5_{10}$ で、正しい掛け算の結果です。

よくある誤解

「2進数は桁をつなげればいい」と考える誤解
例えば 1011 と 101 をつなげて 1011101 のようにしてしまうミスがあります。数の掛け算は並べるだけではありません。
桁ごとの足し算で繰り上がり（キャリー）を忘れる
2進数でも 1+1 = 10（2進）となり繰り上がりが発生します。これを忘れると誤答になります。
シフトと掛け算の関係を理解していない
「左シフト＝2倍」「右シフト＝1/2」を知らずに、桁ずらしを間違えることがあります。

補足コラム

なぜ「左に1桁ずらすと2倍」になるか？
10進数で10の位に上がると10倍になるのと同じ考え方です。2進数では位が $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, ...$ と増えるので、左に1桁移動すると $2^{n}$ が $2^{n + 1}$ になり、2倍になります。
速く計算するコツ
101（=4+1）のように、掛ける数を 2 の冪の和に分解できれば、シフトと加算で簡単に計算できます。これはコンピュータ内部でも使われる基本的な手法です。

FAQ

Q. 1011_2 を10進にするには？
A. 各桁を

2^{n}

として足します。

101 1_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 8 + 0 + 2 + 1 = 1 1_{10}

。

Q. 110111_2 が本当に 55 かどうか確認したい
A. 同様に各桁を足すと

1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 55

です。

Q. コンピュータで確かめる簡単な方法は？
A. Python なら次のように確認できます。

a = int('1011', 2)
b = int('101', 2)
product = a * b
bin_product = bin(product)[2:]
print(a, b, product, bin_product)  # 出力: 11 5 55 110111

関連キーワード: 2進数、二進法、ビット、乗算、ビットシフト、2進加算

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