ITパスポート 2016年 春期 問60

装置の接続構成 a〜c の稼働率比較【ITパスポート 解説】

正解の理由

• a は同じ装置が横に連続して並んでおり、全て動作していなければならないため「直列接続」です。直列接続では各装置すべてが稼働して初めてシステムが動くので稼働率は低くなります。
• b は最初に直列の装置があり、その後に上下の経路で同じ装置が2つ並行して配置されています。つまり「左の装置（直列） × 並列（上か下のいずれかで良い）」の組合せです。
• c は左右の接点を枠で結び、枠内に上中下の3つの装置が並んでいます。枠によって左右が独立につながっており、いずれか1つが動けばよい「並列接続」です。

• 直列（n台）: $p_{\mathrm{series}}=p^n$（全て動く確率 = 各確率の積）
• 並列（m台）: $p_{\mathrm{parallel}}=1-(1-p{)}^m$（少なくとも1台が動く確率）

• a: $p_a=p^2$（2台直列）
• b: $p_b=p\times (1-(1-p{)}^2)=2p^2-p^3$（左の1台直列 × 右側並列2台）
• c: $p_c=1-(1-p{)}^3=3p-3p^2+p^3$（3台並列）

解法ステップ

1. 図を見て「直列（series）か並列（parallel）か」を判定する。
   • 直列：経路が1本で、途中の装置が1つでも止まると全体が停止する配置。
   • 並列：経路が複数あり、どれか1つが動けばよい配置（冗長化）。
2. 各構成を数式で表す（同じ稼働率 $p$ を仮定）。
   • 直列：掛け算（積）で表す。
   • 並列：「全てが止まる確率」を使って $1-$ で表す。
3. 得られた式を比較する。必要なら具体値（例：$p=0.9$）で確認するか、代数的に差をとって符号を調べる。
4. 大きい順に並べる。

選択肢別の誤答解説

• ア: a, b, c
  • 「a が最も高い」としているが、a は直列で最も不利（2台とも動作する必要がある）なので誤りです。
• イ: b, a, c
  • b が a より高い点は正しいが、c を最下位にしているのが誤り。c は並列で冗長性が最も高く、最も稼働率が高くなります。
• ウ: c, a, b
  • c が最上位なのは正しいが、a が b より上になっている点が誤り。b は並列要素を含むため a（完全な直列）より稼働率が高くなります。
• エ: c, b, a
  • 正しい順序です（並列3台 > 直列×並列 > 直列2台）。

よくある誤解

1. 「装置の数が多いほど稼働率が下がる」：配置による。直列では台数が増えると稼働率は下がりますが、並列では冗長性により全体の稼働率は上がります。
2. 「枠＝直列だ」と誤認する：図の枠は単に接続の仕方を示すだけで、内部に複数の独立経路（並列）があれば並列接続です。見た目の囲いに惑わされないこと。
3. 「足し算で比較する」：稼働率の合成は直列なら掛け算、並列なら「全て止まる確率」を使って $1-$ の形になります。単純な足し算は誤りです。

補足コラム

• 実務では「冗長化（redundancy）」により可用性を向上させます。サーバ（サービスを提供するコンピュータ）やネットワーク機器を並列に用意するのはその一例です。
• 異なる装置ごとに稼働率が異なる場合、一般化すると：
  • 直列（異なる $p_i$）: $p_{\mathrm{series}}={\prod }_i{p}_i$
  • 並列（異なる $p_i$）: $p_{\mathrm{parallel}}=1-{\prod }_i(1-p_i)$
• RAID（複数のディスクを組み合わせて信頼性や性能を改善する技術）やクラスタ構成は、この並列／直列の考え方がベースです。

# p: 各装置の稼働率
p = 0.9
p_a = p**2
p_b = p * (1 - (1-p)**2)
p_c = 1 - (1-p)**3
p_a, p_b, p_c

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