ITパスポート 2016年春期問98

問題文

それぞれが独立に点灯／消灯の操作ができる5個のランプが並んでいる。2個以上のランプが点灯しているパターンは何通りあるか。ここで、全てが点灯しているパターンは1通り、いずれか1個が点灯しているパターンは5通りと数えるものとする。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

選択肢

ア：4

イ：10

ウ：26（正解）

エ：32

🔒 解説は解答すると表示されます

5個のランプの点灯パターン【ITパスポート解説】

正解の理由

5個のランプはそれぞれ「点灯」か「消灯」のどちらか、つまり2通りの状態を持ちます。5個すべての組合せは

2^{5} = 32

通りです。このうち「2個以上点灯しているパターン」を求めるには、全体から「0個点灯」と「1個だけ点灯」のパターンを引けばよいです。
「0個点灯」は1通り、「1個だけ点灯」は5通りなので、求める数は

32 - 1 - 5 = 26

通りになります。したがって選択肢の中ではウ（26）が正しい答えです。

解法ステップ

各ランプは2通りの状態 → 全体は $2^{5}$ 通り（ $= 32$ ）。
・ $2^{5}$ の理由：各ランプごとに2通りあり、5個で掛け算（2×2×2×2×2）。
条件に当てはまないものを数える（補集合を使う）。
・0個点灯（全部消灯）：1通り。
・1個だけ点灯：5通り（5個のうち1個を選ぶ）。
「5個のうち1個を選ぶ」は組み合わせ（コンビネーション、英語: combination）で $C (5, 1) = 5$ 。
全体から引く： $32 - 1 - 5 = 26$ 。

別解（組み合わせを直接足す）： exactly 2,3,4,5個点灯の合計を足す方法です。

C (5, 2) + C (5, 3) + C (5, 4) + C (5, 5) = 10 + 10 + 5 + 1 = 26

。

選択肢別の誤答解説

ア: 4
理由が分かりにくい数字です。おそらく誤った計算や意味の取り違え（例えば「2個の間の何かを数えた」等）による誤答です。正しい「2個以上」の場合はもっと大きな数になります。
イ: 10
これは「ちょうど2個が点灯しているパターン」だけを数えた結果です。5個から2個を選ぶ組み合わせ $C (5, 2) = 10$ です。問題は「2個以上」なので、3個・4個・5個のパターンも含める必要があります。
ウ: 26（正解）
全体32通りから0個と1個を除いて求めた値です。理由は上記のとおりです。
エ: 32
これは「全ての点灯/消灯のパターン」をそのまま数えたものです。問題では「2個以上」を求めるため、0個と1個のパターンを除かなければなりません。

よくある誤解

2^n の意味を取り違える
「2^5=32」は各ランプの状態が独立に2通りあるから掛け合わせる、という考えです。ここを単に覚えるのではなく「掛け算で組み合わせを作る」と理解すると応用が効きます。
「2個以上」を「ちょうど2個」と読み違える
問題文の「以上」「以下」「だけ」は重要です。「以上」はそれ以上の全てを含むので、範囲に注意してください。
ランプの順序を意識しすぎる（順列と組み合わせの混同）
ランプは位置が固定なので「どのランプが点灯しているか」を選べばよく、順番（どちらを先に選ぶか）は問題になりません。順列（順序を考える）ではなく組み合わせ（順序を考えない）を使います。

補足コラム

一般化すると、n個の独立なランプで「2個以上点灯」するパターン数は次の式で表せます。

2^{n} - C (n, 0) - C (n, 1) = 2^{n} - 1 - n

（なぜなら全ての組合せの総和が

2^{n}

で、

C (n, 0) = 1

、

C (n, 1) = n

だからです。）
例：n=3 のとき

2^{3} - 1 - 3 = 8 - 4 = 4

（実際に数えると、ちょうど2個と3個の合計は

C (3, 2) + C (3, 3) = 3 + 1 = 4

）。

また、組み合わせ記号

C (n, k)

は数式では

(k n)

と表し、計算式は

C (n, k) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

と書けます。ここで

n!

（階乗）は

n \times (n - 1) \times \dots \times 1

です。

FAQ

Q. 「2の累乗（

2^{n}

）」はどうして出てくるのですか？
A. 各ランプが独立に「点灯」か「消灯」の2通りを持ちます。独立な選択肢を掛け合わせると、全部で

2 \times 2 \times \dots

（n回）＝

2^{n}

通りになります。

Q. 「ちょうどk個点灯」はどう数えるのですか？
A. k個を選ぶ組み合わせ

C (n, k)

を使います。意味は「n個の中から順序を気にせずk個を選ぶ場合の数」です。

Q. ランプが区別できない（同じように見える）場合はどうする？
A. 問題の通常の解釈ではランプは位置で区別されます（左から1番目のランプ、という具合）。区別できない場合は別の考え方（分割や生成関数など）が必要ですが、ITパスポートの基礎問題ではまず位置で区別すると考えてください。

関連キーワード: 場合の数、組み合わせ（コンビネーション）、二進法、二項定理、順列と組み合わせ、補集合法

← 前の問題へこの年度をクイズで解く次の問題へ →

\ せっかくなら /

ITパスポートを
クイズ形式で学習しませんか？

クイズ画面へ遷移する→

すぐに利用可能！