ITパスポート 2017年 秋期 問98

次のベン図の網掛けした部分の検索条件はどれか。【ITパスポート 解説】

正解の理由

• 「Aに入っていない」＝ not A（Aの補集合）
• 「BまたはCに入っている」＝ B or C（B ∪ C：和集合）
• 両方を満たす＝ (not A) and (B or C) = (B ∪ C) ∩ A'

解法ステップ

1. 図を「集合（円）」と「全体（長方形＝宇宙集合）」と考えます。
   • A, B, C がそれぞれの円に対応します。
2. 網掛けの条件を言葉で整理します。
   • 条件1：Aに入らない（Aの外側） → not A
   • 条件2：BまたはCに入る → B or C（B ∪ C）
3. 両条件を同時に満たす点を取ります。つまり論理積（AND）を取る。
   • (not A) and (B or C)
4. より集合式で書くと $(B\cup C)\cap A^c$ または $(B\cap A^c)\cup (C\cap A^c)$ と同値です。

選択肢別の誤答解説

• ア: ( not A ) and ( B and C )
  • 解釈：Aの外側にあって、かつBかつC両方に入る領域。つまりBとCの共通部分でAに含まれない部分だけを選びます。図の網掛けはBとCの「単独部分」であり、B∧C（重なり部分）は網掛けされていないので不適切です。
• イ: ( not A ) and ( B or C )
  • 解釈：Aの外側で、BまたはCのどちらか（あるいは両方）に入る点を選びます。図の網掛けは「Aに入らない」かつ「BかCに属する」部分なので一致します。
• ウ: ( not A ) or ( B and C )
  • 解釈：Aの外側の全て（not A の領域すべて）またはBとCが重なる部分。これだとAの外の白い領域（BにもCにも属さない部分）まで含んでしまい、網掛けより範囲が広くなってしまいます。よって不正解です。
• エ: ( not A ) or ( B or C )
  • 解釈：not A または (B または C)。これだとほぼ「not A の全領域」と「B・C の全領域」を合わせた非常に広い領域になり、網掛けの範囲とは合いません。過剰に領域を含んでしまいます。

よくある誤解

1. 「or」を排他的な意味（XOR）で考えてしまう
   • この問題での or（B or C）は包含的な「論理和」です。BかCか「または両方」を含みます。ベン図では和集合 $B\cup C$ を意味します。
2. 「not A」を単に「Aの外側の円以外」と混同する
   • not A は宇宙集合（長方形）に対するAの補集合です。Aの外側ならBやC以外の白い部分も含むため、そのままでは網掛けと一致しません。必ず「not A と (B or C) の両方」を満たす点を取る必要があります。
3. 括弧の優先順位を無視する
   • 論理式は括弧で優先を示しています。与えられた式では (not A) and (B or C) のように明確なので順序を守って解釈してください。もし括弧がないときは演算の優先度に注意が必要です（一般に and が or より優先ですが、問題文の括弧に従うのが安全です）。

補足コラム

• and（論理積） ⇔ ∩（共通部分） ⇔ 「かつ」
• or（論理和） ⇔ ∪（和集合） ⇔ 「または（含む）」
• not（否定） ⇔ 補集合（A の外側） ⇔ 「～でない」

• $(B\cup C)\cap A^c$
• $(B\cap A^c)\cup (C\cap A^c)$

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