ITパスポート 2017年 春期 問50

プロジェクトメンバ間の情報伝達経路が増える数は何か【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. まず「人数 $n$ に対して、何通りの1対1の組が作れるか」を考える。
   • これは組合せ（2人を選ぶ場合）の数で、式は $n(n-1)/2$。
2. 初めの状態（10人）での経路数を計算する。
   • $10\times 9/2=45$。
3. 増えた後（15人）での経路数を計算する。
   • $15\times 14/2=105$。
4. 増加した経路数を求める。
   • $105-45=60$。よって増加数は60。

• 新しい5人それぞれが既存の10人と結ぶ経路で $5\times 10=50$、
• さらに新しい5人同士の間にも $5\times 4/2=10$ の経路ができる。
  合計で $50+10=60$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 5
  • これは単純に人数の増加分（15−10=5）をそのまま経路の増加と勘違いしたケースです。人数が増えれば各新メンバが既存メンバと多数の組み合わせを生むため、経路増加は人数増加よりずっと大きくなります。
• イ: 10
  • これは「新しく加わった人数（5人）に対して、それぞれ2人ずつ増える」など、誤った比例計算をした結果になる誤りです。正しくは新メンバ1人ごとに既存の人数分の経路が増え、さらに新メンバ同士の組み合わせも生じます。
• ウ: 60
  • 正解。上の通り、組合せの式または「新メンバが既存と結ぶ経路＋新同士の経路」で導けます。
• エ: 105
  • これは増加後の総経路数（15人のときの総数）を増加数と誤認したケースです。問題は「何個増えるか」を問うていますので、「増加後の合計」ではなく「増加分（差）」を求める必要があります。

よくある誤解

1. 順序を区別して数える（有向に数える）
   • 「AがBに伝える」と「BがAに伝える」を別々に数えると倍になります。問題文では「1対1で情報の伝達を行う必要がある」とあるため、通常は順序を区別せず1つの経路と数えます。
2. 増加数＝人数の増加（15−10）と誤解する
   • 人が1人増えるごとに、その人は既存全員とつながるため増加は単純な差と違います。
3. 新メンバ同士のやりとりを忘れる
   • 既存メンバと新メンバの接続だけを数え、5人の間で生じる $5\times 4/2=10$ を見落とすミスがよくあります。

補足コラム

• 組合せの記号で表すと、2人を選ぶ組合せは ${}_n{C}_2$（あるいは $C(n,2)$）で、計算式は ${}_n{C}_2=\frac{n(n-1)}{2}$ です。語源としては英語で "combination"（組合せ）と言います。
• 一般に人数が $a$ 人から $b$ 人に増えたときの増加数は次で表せます： $$\frac{b(b-1)}{2}-\frac{a(a-1)}{2}=\frac{(b-a)(a+b-1)}{2}$$ 今回は $a=10,b=15$ を代入すると $(15-10)(10+15-1)/2=5\times 24/2=60$ となります。
• 実務イメージ：会議で全員と1対1で打ち合わせするときの「打ち合わせ回数」を考えるとイメージしやすいです。人数が増えると打ち合わせ数は二乗的に増えます。

def pair_count(n):
    return n*(n-1)//2

print(pair_count(15) - pair_count(10))  # 60

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