ITパスポート 2024年問83

問題文

1から6までの六つの目をもつサイコロを3回投げたとき、1回も1の目が出ない確率は幾らか。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

ア：1/216

イ：5/72

ウ：91/216

エ：125/216（正解）

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サイコロ（6面の立方体の目が1〜6のもの）で「1が出ない」ことを1回の投げで考えると、出る目は2〜6の5通りです。したがって、1回で1が出ない確率は

5/6

です。3回投げるときは、各回が互いに影響しない独立（独立試行：1回の結果が次に影響しないこと）なので、確率を掛け合わせます。よって確率は

(5/6)^{3} = 125/216

となり、選択肢の中ではエが正しいです。

ア: $1/216$
これは $(1/6)^{3}$ で、「3回とも1が出る確率」です。問題は「1が1回も出ない」なので逆の事象です。
イ: $5/72$
これは $15/216$ に等しく、実は確率が2回だけ1になる場合の確率 $3 \cdot (1/6)^{2} \cdot (5/6)$ に対応します。誤って「2回1が出る確率」を答えてしまったケースです。
ウ: $91/216$
これは $1 - 125/216$ で、「少なくとも1回は1が出る確率」です（補事象）。問題は「1が一度も出ない」なので、こちらは補集合（逆の答え）です。
エ: $125/216$
1回で1が出ない確率 $5/6$ を3回掛けたもの。これが正解です。

足し算してしまう
「1回も出ない」場合に確率を $5/6 + 5/6 + 5/6$ のように足してしまう人がいます。独立な回の同時事象は掛け算で扱います。
補事象を逆にとる
「少なくとも1回1が出る」場合と混同し、 $1 - P (少なくとも 1 回)$ をさらに取ってしまう間違いがあります。問題文の意味をよく確認してください。

一般化すると、n面サイコロ（成功を1とする）で「成功が起きない確率」は $((n - 1) / n)^{k}$ （k回投げるとき）です。今回の例は $n = 6, k = 3$ で $(5/6)^{3}$ になります。
二項分布の視点でも同じ結果が得られます。成功（1が出る）を「1回も起きない」（成功回数0）と見ると、確率は $(0 3) (1/6)^{0} (5/6)^{3} = (5/6)^{3}$ です。

Q. なぜ掛け算するのですか？
A. 各投げは互いに影響しません（独立）。独立な事象AとBが同時に起きる確率は

P (A) \times P (B)

です。3回なら3つ掛けます。

Q. 「少なくとも1回」とは違うのですか？
A. はい。今回の問いは「1が一度も出ない」です。反対の問い「少なくとも1回出る」は

1 - (5/6)^{3}

になります。

Q. サイコロが偏っていたら？
A. 偏り（不公平）の場合は、1回で1が出る確率をその値に置き換え、同様に掛け算します。

関連キーワード: 確率、独立試行、補事象（余事象）、サイコロ、べき乗、二項分布

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