ITパスポート 2024年問83

問題文

1から6までの六つの目をもつサイコロを3回投げたとき、1回も1の目が出ない確率は幾らか。

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選択肢

ア：1/216

イ：5/72

ウ：91/216

エ：125/216（正解）

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独立試行の確率【ITパスポート解説】

正解の理由

この問題は「サイコロを3回投げる」という独立した試行が繰り返される場合の確率計算です。1回の投げで「1が出ない」確率は、6つの目のうち1以外が出る確率で

5/6

です。試行が独立（※後述）なので、3回とも1が出ない確率は各回の確率を掛け合わせます。したがって

(5/6)^{3} = 125/216

となり、選択肢のうちエが正しいです。

※「独立」とは、ある回の結果が次の回の結果に影響しないことを意味します。サイコロの目は通常独立です。

解法ステップ

1回の試行で「1が出ない」確率を考える： $5/6$ 。
試行が独立なので、3回とも起こる確率は掛け算： $(5/6) \times (5/6) \times (5/6) = (5/6)^{3}$ 。
計算して分数に直す： $(5^{3}) / (6^{3}) = 125/216$ 。

（補助的に）「少なくとも1回1が出る確率」を求めるなら補事象を使って

1 - (5/6)^{3} = 91/216

とも表せますが、本問は「1回も出ない」を直接計算する方が簡単です。

選択肢別の誤答解説

ア: $1/216$
これは $(1/6)^{3}$ で、3回とも「1が出る」確率です。問題は「1が出ない」確率を問うているので、この値は誤りです。※ここで重要なのは $(1/6)^{3}$ が「逆（補事象）」ではなく「全て1が出る」という別の事象である点です。
イ: $5/72$
これは $15/216$ に相当します。実際には「ちょうど2回1が出る」確率と一致します。計算式は $(2 3) (1/6)^{2} (5/6) = 3 \cdot (1/36) \cdot (5/6) = 15/216$ です。本問の「0回」でなく「2回」の確率です。
ウ: $91/216$
これは $1 - (5/6)^{3}$ に等しく、「少なくとも1回1が出る」確率（補事象）です。問題は「1回も出ない」確率なので、これも誤りです。
エ: $125/216$
各回で「1が出ない」確率 $5/6$ を3回掛けた結果で、本問に合致します（正解）。

よくある誤解

(1) $(1/6)^{3}$ を「1が1回も出ない確率の逆（補事象）」と誤解する。実際は「3回とも1が出る」という特定の事象であり、補事象ではありません。補事象は「少なくとも1回1が出る」で、その確率は $1 - (5/6)^{3}$ です。
(2) 試行の独立性を忘れて足し算してしまう。独立なら確率は掛け算で求めます（足し算は互いに排反な事象を合算する場合に使います）。

補足コラム

同じ問題は二項分布（Binomial distribution）で一般化できます。成功確率を

p

（ここでは「1が出る」＝

1/6

）、試行回数を

n

（ここでは3）とすると、「成功がちょうど

k

回起きる確率」は

Pr (k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

です。本問は

k = 0

の場合で、

(0 3) = 1

より

(1 - p)^{3} = (5/6)^{3}

となります。試験では「0回」を直接求めるか、または「少なくとも1回」の補事象を使うのが定石です。

簡単な数値一覧（p=1/6, n=3）

0回: $(5/6)^{3} = 125/216$
1回: $(1 3) (1/6) (5/6)^{2} = 75/216$
2回: $15/216$
3回: $1/216$

FAQ

Q: なぜ確率を掛けるのですか？
A: 試行が独立である場合、複数の事象が同時に起きる確率は個々の確率を掛け合わせるルールだからです。身近な例ではコインを2回投げて両方表が出る確率は

1/2 \times 1/2 = 1/4

です。

Q: 補事象はいつ使うと便利ですか？
A: 「0回」や「少なくとも1回」といった問題で、直接計算するより補事象（全体1から逆の事象を引く）で求めた方が楽な場合に便利です。今回の例ではどちらでも計算できますが、回数が増えると補事象が特に有効です。

Q: サイコロが偏っていたらどうする？
A: 各目の確率が等しくない場合は、1回あたりの「1が出ない」確率をその偏りに合わせて使い、独立なら同様に累乗（掛け算）します。

関連キーワード: 確率、独立試行、補事象、二項分布、場合の数、積の法則

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