ITパスポート 2025年 問94

稼働率0.9の装置で並列システムを構成したときの最小台数【ITパスポート 解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 1台の故障確率を求める：$1-0.9=0.1$。
2. n 台すべてが故障する確率は $(0.1{)}^n$。
3. システムが稼働する確率（少なくとも1台が生きている確率）は $1-(0.1{)}^n$。
4. これを 0.999 以上にする：$1-(0.1{)}^n\ge 0.999$ → $(0.1{)}^n\le 0.001$。
5. 小さい整数で試すと：
   • $n=1$ → $(0.1{)}^1=0.1$（システム稼働率 0.9）
   • $n=2$ → $(0.1{)}^2=0.01$（システム稼働率 0.99）
   • $n=3$ → $(0.1{)}^3=0.001$（システム稼働率 0.999）
     よって最小は $n=3$。

選択肢別の誤答解説

• ア: 2
  2台並列だとシステム稼働率は $1-(0.1{)}^2=1-0.01=0.99$ で、目標の 0.999 に届きません。よって不正解です。
• イ: 3
  3台並列だとシステム稼働率は $1-(0.1{)}^3=1-0.001=0.999$ となり、ちょうど目標を満たします。最小台数なので正解です。
• ウ: 4
  4台並列だと $1-(0.1{)}^4=0.9999$ で目標は超えますが、「最低何台か」を問う問題なので 3 台で既に条件を満たしており、4 は過剰です。よって不正解（ただし稼働率は十分以上になります）。
• エ: 5
  5 台でも条件を満たしますが、最小ではないため不正解です。

よくある誤解

1. 「並列だから単純に稼働率同士を足す」と考える
   誤って 0.9 + 0.9 = 1.8 → 1.0 とする人がいますが、確率は足し算で扱えません。正しくは「全台故障の確率」を掛け合わせてから 1 から引きます。
2. 「系列（すべて動く必要がある）と混同する」
   系列システム（全て動いている必要がある）ではシステム稼働率は $0.9^n$ になります。並列とは逆の計算になる点で混同しやすいです。
3. 「小数のべき乗が分からず丸暗記で計算する」
   小さい基数（ここでは 0.1）のべき乗は試し算（0.1, 0.01, 0.001,...）で判断できます。無理に丸暗記する必要はありません。

補足コラム

• 並列・系列の一般式
  • 並列（少なくとも1つが動作すればよい）：システム稼働率 = 1 − ∏(各装置の故障確率)
  • 系列（すべてが動作する必要がある）：システム稼働率 = ∏(各装置の稼働率)
    ここでは装置が同一で独立（互いに影響を与えない）と仮定し、故障確率は同じ値でした。
• 実務での注意点
  実際のシステムで「並列にすればよい」と単純に増やせば良いわけではありません。コスト、設置スペース、メンテナンス、共通の故障原因（電源やネットワークなど）があると独立故障の仮定が崩れます。可用性の計算では MTBF（平均故障間隔）や MTTR（平均修復時間）を使って稼働率を求めることも多いです：稼働率 ≒ MTBF / (MTBF + MTTR)。
• 一般式（厳密）
  目標稼働率 A、各装置の稼働率 p のとき、最小 n は
  $$1-(1-p{)}^n\ge A⟹(1-p{)}^n\le 1-A$$
  を満たす最小の整数 n です。対数を使うと
  $$n\ge \frac{\log (1-A)}{\log (1-p)}$$

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