ネットワークスペシャリスト 2013年午前2 問24

問題文

1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUをn台用いたマルチプロセッサの性能Pが、

P = \frac{n}{1 + （ n - 1 ） a}

で表されるとする。ここで、aはオーバヘッドを表す定数である。例えば、a=0.1, n=4とすると、P≒3なので、4台のCPUから成るマルチプロセッサの性能は約3になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、nを幾ら大きくしてもPはある値以上には大きくならない。a=0.1の場合、Pの上限は幾らか

選択肢

ア：5

イ：10（正解）

ウ：15

エ：20

マルチプロセッサの性能上限計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論：性能の上限は $a$ の逆数 $\frac{1}{a}$ であり、 $a = 0.1$ なら上限は10です。
根拠：性能式 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ で $n \to \infty$ の極限を考えると、分母の $(n - 1) a$ が支配的になります。
差がつくポイント：極限の考え方を理解し、オーバヘッド $a$ が性能上限を決めることを正確に把握することが重要です。

正解の理由

性能

P

は

n

台のCPUを使ったときの性能を表し、

P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}

です。

n

を非常に大きくすると、分母の

1

は無視でき、

P \approx \frac{n}{( n - 1 ) a} \approx \frac{n}{na} = \frac{1}{a}

となります。よって

a = 0.1

のとき、性能の上限は

10

となり、選択肢の中ではイが正解です。

よくある誤解

$n$ が増えれば性能も無限に増えると誤解しがちですが、オーバヘッド $a$ が性能の上限を制限します。
分母の $1$ を無視しすぎて計算ミスをすることがあります。

解法ステップ

性能式 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ を確認する。
$n$ を非常に大きくした場合の極限を考える。
分母の $1$ は無視できるほど小さくなるため、 $P \approx \frac{n}{( n - 1 ) a}$ と近似。
$n$ で分子・分母を割り、 $P \approx \frac{1}{a}$ と導く。
$a = 0.1$ を代入し、 $P$ の上限は $10$ と判定。

選択肢別の誤答解説

ア: 5 — $a = 0.1$ の逆数は10なので、5は小さすぎる。
イ: 10 — 正解。 $1/ a$ の計算結果に一致。
ウ: 15 — $a = 0.1$ の逆数ではなく、根拠がない。
エ: 20 — $a = 0.1$ の逆数の2倍で誤り。

補足コラム

この性能式は「Amdahlの法則」に類似しており、並列化による性能向上はオーバヘッドや並列化できない部分により制限されます。オーバヘッド

a

が小さいほど性能上限は高くなり、効率的な並列処理設計の指標となります。

FAQ

Q: なぜ

1

を無視していいのですか？
A:

n

が非常に大きくなると

(n - 1) a

が

1

より圧倒的に大きくなり、分母の

1

は無視できるほど小さくなるためです。

Q: オーバヘッド

a

が0の場合はどうなりますか？
A:

a = 0

ならオーバヘッドがなく、性能は理想的に

n

倍まで伸びますが、現実的には

a > 0

です。

関連キーワード: マルチプロセッサ性能、オーバヘッド、Amdahlの法則、並列処理、性能上限

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