システムアーキテクト試験 2009年午前2 問22

1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUをれ台用いたマルチプロセッサの性能Pが、

P = \frac{n}{1 + （ n - 1 ） a}

で表されるとする。ここで、aはオーバヘッドを表す定数である。例えば、a=0.1, n=4とすると、P≒3なので、4台のCPUからなるマルチプロセッサの性能は約3になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、nを幾ら大きくしてもある値以上には大きくならない。a=0.1の場合、その値は幾らか。

ア：5

イ：10（正解）

ウ：15

エ：20

解説

マルチプロセッサの性能上限の計算問題【午前2 解説】

要点まとめ

結論：オーバヘッド定数 $a = 0.1$ のとき、性能 $P$ の上限は $10$ である。
根拠：性能 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ の $n \to \infty$ の極限を考えると、 $P \to \frac{1}{a}$ となるため。
差がつくポイント：極限の考え方と分母のオーバヘッド $a$ の役割を正しく理解し、計算ミスを防ぐこと。

正解の理由

性能

P

はCPU台数

n

に依存し、オーバヘッド

a

が増えるほど性能向上が抑制されます。
式の分母は

1 + (n - 1) a

で、

n

が非常に大きくなると

1

は無視でき、

P

は約

\frac{n}{na} = \frac{1}{a}

に収束します。

a = 0.1

ならば、性能の上限は

\frac{1}{0.1} = 10

となり、選択肢の中ではイが正解です。

よくある誤解

オーバヘッド

a

を無視して単純に

n

倍の性能向上と考える誤りが多いです。
また、極限を考えずに

n

の具体的な値だけで判断することも誤解の原因となります。

解法ステップ

性能式 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ を確認する。
$n$ を非常に大きくしたときの極限を考える。
分母の $1$ は無視できるので、 $P \approx \frac{n}{na} = \frac{1}{a}$ となる。
$a = 0.1$ を代入し、 $P$ の上限は $10$ と求まる。
選択肢から $10$ に該当するイを選ぶ。

選択肢別の誤答解説ステップ

ア: 5
$a = 0.1$ なら $1/ a = 10$ なので、5は性能上限として小さすぎる。
イ: 10
正解。 $1/ a = 10$ で性能の上限を正しく表す。
ウ: 15
$a = 0.1$ では性能上限は $10$ なので、15は過大評価。
エ: 20
同様に過大評価であり、 $a = 0.1$ の条件に合わない。

補足コラム

この式は「Amdahlの法則」に類似し、並列処理の性能向上に限界があることを示しています。
オーバヘッド

a

は通信や同期の遅延を表し、これが大きいほど性能向上は頭打ちになります。
実際のシステム設計では$aを小さくする工夫が重要です。

FAQ

Q: なぜ

n

が大きくなると

1

を無視できるのですか？
A:

n

が非常に大きい場合、

(n - 1) a

が

1

より圧倒的に大きくなるため、

1

は無視しても誤差が小さいからです。

Q: オーバヘッド

a

が0の場合はどうなりますか？
A:

a = 0

なら

P = \frac{n}{1 + 0} = n

となり、性能はCPU台数に比例して無限に増加します。

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