システムアーキテクト試験 2013年午前2 問19

問題文

1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUをn台用いたマルチプロセッサの性能Pが、

P = \frac{n}{1 + （ n - 1 ） a}

で表されるとする。ここで、aはオーバヘッドを表す定数である。例えば、a=0.1,n=4とすると、P≒3なので、4台のCPUから成るマルチプロセッサの性能は約3になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、nを幾ら大きくしてもPはある値以上には大きくならない。a=0.1の場合、Pの上限は幾らか

選択肢

ア：5

イ：10（正解）

ウ：15

エ：20

マルチプロセッサの性能上限の計算問題【午前2 解説】

要点まとめ

結論：オーバヘッド定数 $a = 0.1$ のとき、性能 $P$ の上限は $10$ となる。
根拠：性能式 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ で $n \to \infty$ の極限を考えると、 $P$ は $\frac{1}{a}$ に収束する。
差がつくポイント：極限の考え方を理解し、分母のオーバヘッドが性能上限を決めることを押さえること。

正解の理由

性能

P

は

P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}

で表されます。

n

を非常に大きくすると、

(n - 1) a

が支配的になり、分母はほぼ

na

となります。
したがって、

n \to \infty lim P = n \to \infty lim \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a} = n \to \infty lim \frac{n}{( n - 1 ) a} = \frac{1}{a}

となります。

a = 0.1

なので、性能の上限は

1/0.1 = 10

です。よって正解はイです。

よくある誤解

性能が

n

台分単純に増えると考え、上限が無限大になると誤解しやすいです。オーバヘッド

a

があるため、性能は必ず上限に収束します。

解法ステップ

性能式を確認する： $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$
$n$ を大きくしたときの極限を考える
分母の $1$ は無視できるほど小さくなるため、 $P \approx \frac{n}{na} = \frac{1}{a}$
$a = 0.1$ を代入し、 $P$ の上限を計算する
選択肢から $10$ を選ぶ

選択肢別の誤答解説

ア: 5
$a = 0.1$ なら $1/ a = 10$ なので、5は性能上限として小さすぎる。
イ: 10
正解。 $1/ a = 10$ で性能上限を正しく求めている。
ウ: 15
$a = 0.1$ では性能上限は $10$ なので、15は過大評価。
エ: 20
同様に過大評価であり、オーバヘッドを無視している。

補足コラム

この性能式は「Amdahlの法則」に似た形で、並列処理の効率低下をオーバヘッド

a

で表現しています。オーバヘッドが小さいほど性能上限は高くなり、逆に大きいと性能向上は限定的です。実際のシステム設計ではこのバランスが重要です。

FAQ

Q: なぜ性能は

1/ a

に収束するのですか？
A:

n

が大きくなると分母の

(n - 1) a

が支配的になり、

P

は

\frac{n}{na} = \frac{1}{a}

に近づくためです。

Q: オーバヘッド

a

が0の場合はどうなりますか？
A:

a = 0

ならオーバヘッドがなく、性能は理論上

n

倍まで増加し、上限はありません。

関連キーワード: マルチプロセッサ性能、オーバヘッド、Amdahlの法則、並列処理効率、性能上限

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