システムアーキテクト 2016年 午前2 問20

累積故障率と故障率【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 累積故障率 $F(t)$ とその微分 $f(t)=\mathrm{d}F/\mathrm{d}t$ の定義を確認する。
2. 故障率（ハザード率） $h(t)=f(t)/(1-F(t))$ の関係を確認する。
3. 図の原点付近での $F(t)$ が小さいことを利用し、$h(t)\approx f(t)$ と近似する。
4. 図の傾きの変化（初期は緩やか→後に急増）を読み取り、故障率が小さく始まり増加していると判断する。
5. 選択肢と照合して正しいものを特定する（ここでは ア）。

選択肢別の誤答解説

• ア（正答）: 図の原点付近での傾きが小さく、その後傾きが増しているため、故障率が0に近い値から増加するという記述と一致する。
• イ: 「ある時刻まで一定で、その後減少する」は、累積故障率が線形で一定傾き→その後傾きが減るような形を示す必要があるが、図は初めに緩やかで後に傾きが増すため該当しない。
• ウ: 「ある正の値から時間とともに減少し、限りなく0に近づく」は、累積故障率の傾きが最初から大きくその後ずっと減少する挙動を示すべきであり、図の初期は小さく増加しているため不適切である。
• エ: 「時刻によって変化しない定数」は故障率が一定の場合、累積故障率 $F(t)$ は時間に対して線形に増加するはずで、S字型の曲線とは合わない。

よくある誤解

• 累積故障率の傾き＝常に故障率（ハザード率）だと考える誤り。厳密には傾きは確率密度 $f(t)$ であり、ハザード率は $f(t)/(1-F(t))$ である。ただし初期では $F(t)\ll 1$ のため両者はほぼ等しい。
• 累積故障率が平坦化（横ばい）している＝故障率がゼロと短絡する誤り。累積が平らになるのは分母（残存母数）が少なくなったり、故障が既に大多数で残存が少ないために増加が小さく見える場合もある。ハザード率は残存母数を考慮して評価する必要がある。
• グラフの全体形状だけで「バスタブ曲線」と同等に扱う誤解。バスタブは典型例であるが、実測曲線は製品や環境で多様に変化する。

補足コラム

• バスタブ曲線の正しい特徴：
  1. 初期故障期（初期）— 比較的高い故障率から出発して時間とともに低下する（いわゆる初期不良の除去）。
  2. 偶発故障期（中間）— 故障率が低く安定してほぼ一定となる期間（通常動作期）。
  3. 摩耗故障期（末期）— 部品の摩耗や劣化で故障率が増加する期間。
     図問のS字は初期に故障が少なく（初期不良が少ない設計等）その後故障が増えるような別の寿命分布を示しており、必ずしもバスタブの典型形と一致しない点に注意する。
• 実務上の読み取り：累積故障率の微分を数値微分で求め、残存率 $1-F(t)$ で割ることでハザード率推定が可能。サンプルサイズが小さい区間では推定が不安定になるため、区間幅や平滑化が必要になる。

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