システムアーキテクト 2025年午前2 問22

問題文

キャッシュサーバを利用した検索処理の平均応答時間は、キャッシュサーバでヒットした場合には0.2秒、ヒットしない場合には2.2秒である。現在の平均検索応答時間は、1.0秒である。3年後のキャッシュサーバのヒット率は、検索量の増加によって現状の半分になると予測されている。3年後の平均検索応答時間は何秒か。ここで、その他のオーバーヘッドは考慮しない。

選択肢

ア：1.1

イ：1.3

ウ：1.6（正解）

エ：1.9

キャッシュサーバのヒット率変化による平均応答時間計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論：現在のキャッシュヒット率は60%で、これが半分の30%に下がるため3年後の平均応答時間は1.6秒になります（その他のオーバーヘッドは無視）。
根拠：平均応答時間は「ヒット時0.2秒、ミス時2.2秒」の重み付け平均で表され、現状の1.0秒から逆算するとヒット率が0.6と求まります。
差がつくポイント：式 $h \times 0.2 + (1 - h) \times 2.2 = 1.0$ を立てて $h = 0.6$ を求め、3年後は $h /2 = 0.3$ を代入して平均を計算する手順を確実に行うこと。

正解の理由

現在の平均応答時間1.0秒をヒット率

h

を用いて表すと、次のようになります。

h \times 0.2 + (1 - h) \times 2.2 = 1.0

。
これを解くと、

0.2 h + 2.2 - 2.2 h = 1.0 \Rightarrow 2.2 - 2.0 h = 1.0 \Rightarrow 2.0 h = 1.2 \Rightarrow h = 0.6

。
3年後はヒット率が半分になるので

h^{'} = 0.6/2 = 0.3

。これを平均応答時間の式に入れると、

0.3 \times 0.2 + 0.7 \times 2.2 = 0.06 + 1.54 = 1.60

秒。したがって正解はウ（1.6秒）です。

よくある誤解（2〜3 行）

ヒット率を直接0.6→0.3ではなく応答時間を半分にする誤り（「平均を半分」にする誤解）。
式を立てずに見積もりや端数処理で誤答に至る計算ミス。

解法ステップ

平均応答時間をヒット率 $h$ で表す式を作る： $h \times 0.2 + (1 - h) \times 2.2 = 1.0$ 。
上の式を整理して $h$ を解く： $h = 0.6$ （現在のヒット率）。
3年後はヒット率が半分になるので $h^{'} = 0.3$ を得る。
$h^{'}$ を使って新しい平均応答時間を計算する： $0.3 \times 0.2 + 0.7 \times 2.2 = 1.6$ 秒。
選択肢と照合して最も近いもの（1.6秒）を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 1.1 — ヒット率や重み付け平均の設定を誤って低いヒット影響を過小評価した計算ミスの可能性が高いです。
イ: 1.3 — ヒット率を半分にする処理や小数の扱いで誤差が出た場合に見られる値ですが、正しい代入では得られません。
ウ: 1.6 — 正解。上記の式に基づく正確な計算結果です。
エ: 1.9 — ヒット率低下の効果を過大評価してほぼミス時（2.2秒）に近い値を誤って選んだケースです。

補足コラム（関連知識など）

平均応答時間は期待値（重み付け平均）の考え方で扱います。一般式は

T (h) = h \times t_{hi t} + (1 - h) \times t_{mi ss}

。本問では微分で感度も見られます：

d T / d h = t_{hi t} - t_{mi ss} = 0.2 - 2.2 = - 2.0

。つまりヒット率を1.0（=100%）上げると平均が2.0秒下がる感度があり、今回のヒット率減少0.3に対する応答時間増分は

- 2.0 \times (- 0.3) = 0.6

秒で、1.0秒→1.6秒となることと一致します。

FAQ

Q: 現在のヒット率はどうやって求めますか？
A: 現在の平均応答時間を

h

で表す式

h \times 0.2 + (1 - h) \times 2.2 = 1.0

を立て、代数的に

h

を解きます（この問題では

h = 0.6

）。

Q: なぜ「ヒット率を半分にする」ことで単純に新しい

h

を代入すればよいのですか？
A: 平均応答時間はヒットとミスの確率（ヒット率）による加重平均なので、ヒット率が変わればそのまま新しい確率を代入すれば期待値が求まります。問題では「その他のオーバーヘッドは考慮しない」と明記されているため、他の要因は一定と仮定します。

関連キーワード: キャッシュヒット率、平均応答時間、重み付け平均、応答時間計算、感度解析、キャッシュサーバ、期待値、加重平均

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