応用情報技術者 2010年秋期午前2 問24

問題文

図の論理回路と等価な回路はどれか。

🖊️ 解答を隠して解いてみる

ア：

イ：

ウ：（正解）

エ：

🔒 解説は解答すると表示されます

図の回路は、出力に小円（否定）が付いたANDゲート、つまりNANDゲート4個でできています。左のNANDの出力を

N = \overline{A \cdot B}

とすると、中段上のNANDには

A

と

N

、中段下のNANDには

B

と

N

が入り、右のNANDに中段の二つの出力が入ります。

Y = \overline{\overline{A \cdot N} \cdot \overline{B \cdot N}} = A \cdot N + B \cdot N = (A + B) \cdot \overline{A \cdot B} = A \oplus B

となり、回路全体は排他的論理和（XOR）です。XORの記号はウなので、ウが正解です。

各ゲートを確認する。4個ともAND記号の出力に小円が付いたNANDで、入力側に小円はない（A・Bの線上の黒丸は配線の分岐点）。
左のNANDの出力： $N = \overline{A \cdot B}$
中段上： $P = \overline{A \cdot N}$ 、中段下： $Q = \overline{B \cdot N}$
右のNAND： $Y = \overline{P \cdot Q} = A \cdot N + B \cdot N$ （ド・モルガンの法則）
$A \cdot N + B \cdot N = (A + B) \cdot \overline{A \cdot B}$ は「AとBのどちらか一方だけが1」のときに1になるので $A \oplus B$ 。

真理値表で確かめると次のとおりです。

入力線上の黒丸を否定の小円と見誤ること。黒丸は配線の分岐（接続点）で、否定を表すのは白い小円です。
吸収律 $A \cdot (A + B) = A$ のような式変形を、NANDの出力（ $\overline{A \cdot B}$ ）に誤って当てはめること。中段のゲートに入るのは $A + B$ ではなく $\overline{A \cdot B}$ です。

NANDゲートは、それだけでどんな論理回路も作れる「完全な」ゲートです。XORは本問のようにNAND4個で作れる代表例で、半加算器の和の出力にも使われます。

Q. 式変形に自信がないときはどうすればよいですか？
A. 入力が2つなら4通りしかないので、真理値表を作るのが確実です。各ゲートの出力を順に書き込めば、全体の働きが分かります。

関連キーワード: NANDゲート、排他的論理和、ド・モルガンの法則、真理値表、論理回路

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