応用情報技術者 2011年 春期 午前2 問24

NANDによるOR実現【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 上段NAND：両入力が同じ信号 X → 出力は $\overline{X}$。
2. 下段NAND：両入力が同じ信号 Y → 出力は $\overline{Y}$。
3. これら2つの出力を入力とする最終NANDの出力は $\overline{\overline{X}\cdot \overline{Y}}$。
4. ド・モルガンを適用して $X+Y$ に変形する → 回路は OR を実現している。

選択肢別の誤答解説

• ア: $X\cdot Y$
  これは AND の式。NAND のみで AND を直接出力する構成ではなく、本回路は各信号を一度否定してから NAND しているため AND にはならない。
• イ: $X+Y$（正解）
  上記のとおり、各入力を自己NANDで否定し、否定同士をNANDすると $X+Y$ になる（ド・モルガン適用）。
• ウ: $\overline{X}\cdot Y$
  これは片側のみ否定された AND。回路構成は両側を否定してから NAND しており、この形とは合致しない。
• エ: $\overline{X+Y}$
  これは OR の否定（NOR）。NAND 1つは $\overline{X\cdot Y}$ を出力するが、$\overline{X+Y}$ とは異なるためこの回路が $\overline{X+Y}$ を出すという説明は誤りである。特に本回路は二重の否定とド・モルガンにより OR を実現しているため、エは不適切。

よくある誤解

• 「NAND の出力は常に $\overline{X\cdot Y}$ だからこの回路は AND の否定だ」とだけ考える。図中の上段・下段は入力が同一であり、NAND がインバータとして働く点を見落としやすい。
• NOR と NAND を混同する。$\overline{X+Y}$（NOR）と $\overline{X\cdot Y}$（NAND）は別物で、単純に入れ替えられない。
• バブル（出力側の小円）がある＝単純に否定と解釈するが、どの信号が二重否定・単一否定されているかを順に辿らないと正しい論理式を導けない。

補足コラム

• NOT: $\overline{X}=\text{NAND}(X,X)$
• OR: $X+Y=\text{NAND}(\text{NAND}(X,X),\text{NAND}(Y,Y))$（今回の回路） これを覚えておくと、回路図で「入力を分岐して同じ NAND に入れている」箇所を見つけた瞬間に逆相出力を作っていると判断できます。

• X=0, Y=0 → 上段,下段 =1,1 → 最終NAND = $\overline{1\cdot 1}=0$ → Z=0
• X=1, Y=0 → 上段,下段 =0,1 → 最終NAND = $\overline{0\cdot 1}=1$ → Z=1
• X=0, Y=1 → Z=1
• X=1, Y=1 → Z=1 この表も $X+Y$ と一致します。

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