応用情報技術者 2011年春期午前2 問24

問題文

NAND 素子を用いた次の組合せ回路の出力を表す式はどれか。ここで、論理式中の・は論理積、+は論理和、

\overline{X}

はXの否定を表す。

選択肢

ア：

X \cdot Y

イ：

X + Y

（正解）

ウ：

\overline{X} \cdot Y

エ：

\overline{X + Y}

NAND素子を用いた組合せ回路の出力式【午前2 解説】

要点まとめ

結論：この回路の出力は論理和 $X + Y$ に等しいです。
根拠：NANDゲート3つの組み合わせでOR回路を構成しているため、出力は $X + Y$ となります。
差がつくポイント：NANDゲートの否定特性を利用し、De Morganの法則を正しく適用できるかが鍵です。

正解の理由

この回路は、2入力NANDゲートを2つ使い、それぞれの入力にXとYを分岐して接続しています。各NANDゲートの出力は

\overline{X \cdot X} = \overline{X}

と

\overline{Y \cdot Y} = \overline{Y}

のように見えますが、実際はXとYが別々のNANDゲートに入力されているため、出力は

\overline{X \cdot X} = \overline{X}

ではなく、単に

\overline{X \cdot Y}

ではありません。
次に、これら2つのNANDゲートの出力を3つ目のNANDゲートの入力に並列接続しています。3つ目のNANDゲートはこれらの出力の論理積の否定を返します。
この構成は、De Morganの法則により、

Z = \overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}} = X + Y

となり、選択肢の中で唯一該当するのはイ:

X + Y

です。

よくある誤解

NANDゲートは否定論理積と覚えがちですが、複数のNANDゲートを組み合わせるとANDやORなど他の基本論理回路を構成できる点を見落としやすいです。

解法ステップ

入力XとYがそれぞれ2本に分岐し、2つのNANDゲートに入力されていることを確認する。
それぞれのNANDゲートの出力は $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ ではなく、 $\overline{X \cdot Y}$ ではないことに注意。
2つのNANDゲートの出力を3つ目のNANDゲートに入力し、その出力を考える。
De Morganの法則を用いて、 $Z = \overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}} = X + Y$ と導く。
選択肢の中から $X + Y$ を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $X \cdot Y$
NANDゲートはANDの否定なので、単純にANDとはならず誤りです。
イ: $X + Y$
正解。NANDゲート3つの組み合わせでOR回路を実現しています。
ウ: $\overline{X} \cdot Y$
入力の否定が片方だけであり、回路構成と合いません。
エ: $\overline{X + Y}$
ORの否定はNANDゲート1つで表せますが、この回路は3つのNANDゲートでORを実現しているため誤りです。

補足コラム

NANDゲートは「万能ゲート」と呼ばれ、これ1種類だけでAND、OR、NOTなど全ての基本論理回路を構成可能です。特に、2入力NANDゲート3つでOR回路を作る方法は基本的な回路設計の知識として重要です。

FAQ

Q: なぜNANDゲートだけでOR回路が作れるのですか？
A: De Morganの法則により、

X + Y = \overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}}

と表せるため、NANDゲートの否定論理積を組み合わせてOR回路を実現できます。

Q: NANDゲートの出力に付いているバブルは何を意味しますか？
A: バブルは論理否定（NOT）を示し、NANDゲートの出力がANDの否定であることを表しています。

関連キーワード: NANDゲート、De Morganの法則、論理回路、組合せ回路、論理和、論理積、否定論理

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応用情報技術者 2011年 春期 午前2 問24

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