応用情報技術者 2017年 春期 午前2 問05
問題文
次の数式は、ある細菌の第n 世代の個数f(n)が1世代後にどのように変化するかを表現したものである。この漸化式の解釈として 1世代後の細菌の個数が、第n世代と比較してどのようになるかを適切に説明しているものはどれか。
選択肢
ア：1世代後の個数は、第世代の個数の1.8倍に増える。（正解）
イ：1世代後の個数は、第世代の個数の2.2倍に増える。
ウ：1世代後の個数は、第世代の個数の2倍になり、更に増殖後の20%が増える。
エ：1世代後の個数は、第世代の個数の2倍になるが、増殖後の20%が死ぬ。
漸化式による細菌個数の変化【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：漸化式を整理すると、1世代後の細菌個数は第世代の1.8倍になると分かる。
- 根拠：与えられた式を変形し、と導けるため。
- 差がつくポイント：漸化式の項の移項と係数の計算ミスを避け、正確に倍率を求めることが重要。
正解の理由
選択肢アは、漸化式を正しく変形し、1世代後の個数が第世代の1.8倍になると説明しています。
式を整理すると、となり、これが正確な増加倍率です。
他の選択肢は式の意味を誤解しており、倍率や増減の解釈が間違っています。
式を整理すると、となり、これが正確な増加倍率です。
他の選択肢は式の意味を誤解しており、倍率や増減の解釈が間違っています。
よくある誤解
漸化式の項を移項する際に符号を誤ることが多く、増加倍率を2.2倍や2倍と誤認しやすいです。
また、「増殖後の20%が増える」や「20%が死ぬ」といった解釈は式の意味と合致しません。
また、「増殖後の20%が増える」や「20%が死ぬ」といった解釈は式の意味と合致しません。
解法ステップ
- 与えられた漸化式を確認する：
- を左辺に単独で残すため、を右辺に移項する。
- 右辺の項をまとめる：
- 計算して係数を求める：
- 1世代後の個数は第世代の1.8倍であると結論づける。
選択肢別の誤答解説
- イ：2.2倍とあるが、の誤解で、実際は減算であるため誤り。
- ウ：2倍になり更に20%増えるとあるが、式は減算を示しており増加分の解釈が誤り。
- エ：2倍になり20%が死ぬとあるが、式の0.2は加算ではなく減算項であり、死ぬ割合の説明として不適切。
補足コラム
漸化式は前の世代の値を用いて次の世代の値を表す式で、細菌の増殖や減少のモデル化に有効です。
今回のように係数の正負を正確に読み取ることが、正しい解釈の鍵となります。
また、漸化式の解法は数学的帰納法や特性方程式を用いる場合もありますが、今回のような単純な一次式は直接変形で十分です。
今回のように係数の正負を正確に読み取ることが、正しい解釈の鍵となります。
また、漸化式の解法は数学的帰納法や特性方程式を用いる場合もありますが、今回のような単純な一次式は直接変形で十分です。
FAQ
Q: 漸化式の項を移項するときの注意点は？
A: 符号を正確に扱い、項の正負を間違えないことが重要です。特に減算項は加算にしないよう注意しましょう。
A: 符号を正確に扱い、項の正負を間違えないことが重要です。特に減算項は加算にしないよう注意しましょう。
Q: なぜ「20%が死ぬ」という解釈は誤りですか？
A: 式のは左辺にあり、右辺に移すと減算項になるため、増殖後の減少を示しているわけではありません。単純に倍率計算で判断します。
A: 式のは左辺にあり、右辺に移すと減算項になるため、増殖後の減少を示しているわけではありません。単純に倍率計算で判断します。
関連キーワード: 漸化式、細菌増殖、数学的モデル、係数計算、漸化式の解釈
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