応用情報技術者 2018年秋期午前2 問07

問題文

2次元配列

A [i, j]

(

i

、

j

はいずれも 0〜99の値をとる)の

i

j

である要素

A [i, j]

は全部で幾つか。

選択肢

ア：4,851

イ：4,950（正解）

ウ：4,999

エ：5,050

2次元配列の要素数計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論： $i > j$ を満たす要素数は4,950個です。
根拠： $i, j$ は0〜99の100個ずつの範囲で、 $i > j$ は下三角部分の要素数に相当します。
差がつくポイント：三角数の公式 $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ を正しく理解し、範囲の数え方を間違えないことが重要です。

正解の理由

配列

A [i, j]

のインデックスは0から99までの100個ずつです。条件

i > j

は、行番号が列番号より大きい要素を指し、これは100×100の配列の下三角部分（対角線は含まない）に該当します。
この要素数は、

j = 0

のとき

i = 1

〜

99

の99個、

j = 1

のとき

i = 2

〜

99

の98個…と続き、合計は

99 + 98 + \dots + 1 = \frac{99 \times 100}{2} = 4, 950

となり、選択肢の中ではイが正解です。

よくある誤解

「 $i \geq j$ 」と勘違いして対角線も含めて計算し、5,050と答える。
インデックスの範囲を1〜100と誤認し、計算をずらしてしまう。

解法ステップ

配列のサイズを確認し、 $i, j$ は0〜99の100個ずつであることを把握する。
条件 $i > j$ は、行番号が列番号より大きい要素を指すことを理解する。
$j$ の値ごとに $i$ の取りうる値の個数を数える。
それらの個数を合計する。
三角数の公式 $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ を使って計算し、4,950と導く。

選択肢別の誤答解説

ア（4,851）：計算ミスや範囲の取り違えで合計値が小さくなっている。
イ（4,950）：正解。三角数の公式を正しく適用した結果。
ウ（4,999）：端数の計算ミスや範囲のずれによる誤答。
エ（5,050）： $i \geq j$ と誤解し、対角線も含めて計算した結果。

補足コラム

この問題は「二次元配列のインデックス条件による要素数計算」の典型例です。
三角数は自然数の和を表す公式で、

1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{n ( n - 1 )}{2}

と覚えておくと便利です。
また、プログラミングで配列の特定条件の要素数を求める際にも役立つ知識です。

FAQ

Q: なぜ対角線の要素は含めないのですか？
A: 条件が

i > j

であり、

i = j

は含まれないため、対角線の要素は除外されます。

Q: 三角数の公式はどのように導かれますか？
A: 1から

n - 1

までの自然数の和は、

1 + 2 + \dots + (n - 1) = \frac{( n - 1 ) n}{2}

で、等差数列の和の公式から導かれます。

関連キーワード: 二次元配列、三角数、インデックス計算、要素数、数列の和

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応用情報技術者 2018年 秋期 午前2 問07

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