応用情報技術者 2019年 春期 午前2 問02

桁落ち【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 設問のキーワードを確認：「値がほぼ等しい」「差を求めたとき」「有効桁数が減る」などの語句を探す。
2. 「差によって有効桁数が減る」現象が桁落ちの定義と一致するか照合する。
3. 他の選択肢が示す誤差タイプ（丸め誤差、吸収、打ち切り誤差）と用語を区別する。
4. 用語の定義に合致する選択肢を選ぶ（ここでは ア）。

選択肢別の誤答解説

• ア（正解）: 差を取ることで上位桁がキャンセルされ、有効桁数が減少する説明は桁落ちそのものです。
• イ: 切り捨て・切上げ・四捨五入などによって生じる誤差は「丸め誤差（rounding error）」であり、桁落ちとは区別されます。丸めは単独で生じる誤差の種類です。
• ウ: 「非常に大きな数値と小さな数値の加算や減算で小さい数値が反映されない」現象は、有限精度による丸めによって小さい項が消える“吸収（absorption）”または丸めによる情報の喪失です。これは桁あふれ（オーバーフロー）ではなく、加算時の丸め・情報消失に分類されます。
• エ: 無限級数を有限項で打ち切ることで生じる誤差は「打ち切り誤差（truncation error）」であり、桁落ちとは別の概念です。

よくある誤解

• 桁落ちと桁あふれ（オーバーフロー）を混同する。桁落ちは有効桁数の消失（主に差の操作）、桁あふれは表現可能な範囲を超える現象で別物です。
• ウの現象を「オーバーフロー」と誤分類する。ウは小さい数が丸められて消える「吸収」であり、オーバーフローではありません。
• 桁落ちは必ず丸め誤差と同義だと考える。桁落ちは差に特有の有効数字の喪失で、丸め誤差は広く発生する別の原因です（両者が同時に問題を大きくすることはある）。

補足コラム

• 二次方程式の解を直接公式で計算する場合：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ の形で $b^2\gg 4ac$ のとき差で桁落ちが起きる。対策としては次のように計算を変形します。 $$q=-\frac{1}{2}\left(b+\mathrm{sign}(b)\sqrt{b^2-4ac}\right),$$ そして解を $x_1=q/a,x_2=c/q$ とする方法は桁落ちを回避します。
• 総和（多くの数の加算）では Kahan の補償付き和などのアルゴリズムで丸めによる情報喪失を抑えることができます。
• 他の対策：式の再整理、高精度（多倍長）を使う、数値的に安定なアルゴリズムを選ぶ。

# double precision の例（吸収や桁落ちの挙動を観察）
a = 1e16
b = 1.0
print((a + b) - a)   # 0.0 に近くなる（吸収）
# 桁落ちの例は差がほぼ等しい場合に現れる
x = 1.234567890123456
y = 1.234567890123450
print(x - y)  # 非常に小さい差だが、浮動小数点精度の影響を受ける

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