応用情報技術者 2020年 秋期 午前2 問06
問題文
円周率元の値を近似的に求める方法のうち、モンテカルロ法を応用したものはどれか。
選択肢
ア：正方形の中に一様乱数を用いて多数の点をとったとき、その点の個数と正方形に内接する円の中にある点の個数の比が、 点の個数を多くすると両者の面積比である 4 : πに近づくことを用いて求める。（正解）
イ：正方形の中に等間隔に多数の格子点をとったとき、その格子点の個数と正方形に内接する円の中にある格子点の個数の比が、 格子点の間隔を細かくすると両者の面積比である 4 : πに近づくことを用いて求める。
ウ：直径1の円に内接する正 n角形の周の長さと円の直径の比が、 nを大きくすると1に近づくことを用いて求める。
エ：直径1の円に内接する正 n角形の面積と円に内接する正方形の面積の比が、 nを大きくするとπ:2に近づくことを用いて求める。
円周率元の値を近似的に求める方法のうち、モンテカルロ法を応用したものはどれか【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：モンテカルロ法を用いるのは「一様乱数で点を打ち、円内外の比率からπを近似する方法」である。
- 根拠：モンテカルロ法は乱数を使った確率的手法で、面積比を乱数点の比率で推定する特徴がある。
- 差がつくポイント：格子点や多角形の周長・面積を使う方法はモンテカルロ法ではなく、数値解析や幾何学的近似に分類される点に注意。
正解の理由
選択肢アは、正方形内に一様乱数で多数の点を打ち、そのうち円内に入る点の割合から円の面積比を推定する方法です。これはモンテカルロ法の典型的な応用例であり、乱数を用いて確率的にπを近似する手法として正しいです。
よくある誤解
格子点を用いる方法（イ）はモンテカルロ法ではなく、規則的な点配置による数値近似です。多角形の周長や面積を使う方法（ウ、エ）は幾何学的近似であり、乱数を使うモンテカルロ法とは異なります。
解法ステップ
- モンテカルロ法の特徴を理解する（乱数を使う確率的手法）。
- 選択肢の説明文から乱数を使っているか確認する。
- 乱数を使っているのはアのみであることを確認。
- 他の選択肢は規則的な点や多角形の幾何学的性質を利用しているため除外。
- よって正解はアと判断する。
選択肢別の誤答解説
- ア: 正方形内に一様乱数で点を打ち、円内の点の割合からπを推定する方法でモンテカルロ法の典型例。
- イ: 格子点を等間隔に配置して面積比を求める方法で、モンテカルロ法の乱数利用とは異なる。
- ウ: 正n角形の周長を用いた幾何学的近似で、モンテカルロ法ではない。
- エ: 正n角形の面積と正方形の面積比を用いる幾何学的手法で、乱数は使わない。
補足コラム
モンテカルロ法は乱数を用いて複雑な問題の近似解を求める手法で、物理学や金融工学など幅広い分野で活用されています。円周率の近似はその入門的応用例であり、乱数の数を増やすほど精度が向上します。
FAQ
Q: モンテカルロ法はなぜ乱数を使うのですか？
A: 乱数を使うことで複雑な形状や確率分布の面積や期待値を確率的に推定できるためです。
A: 乱数を使うことで複雑な形状や確率分布の面積や期待値を確率的に推定できるためです。
Q: 格子点を使う方法はモンテカルロ法ではないのですか？
A: はい。格子点は規則的配置であり、確率的な乱数利用を特徴とするモンテカルロ法とは異なります。
A: はい。格子点は規則的配置であり、確率的な乱数利用を特徴とするモンテカルロ法とは異なります。
関連キーワード: モンテカルロ法、円周率近似、乱数、面積比、数値解析
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