応用情報技術者 2022年 秋期 午前2 問05

自然数のハッシュ関数における衝突条件【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：キー$a$と$b$が衝突するのは、$a-b$がハッシュ表の大きさ$n$の倍数のときです。
• 根拠：ハッシュ関数$h(x)=x\mathrm{mod}n$は、$x$を$n$で割った余りを返すため、余りが同じなら衝突します。
• 差がつくポイント：余りの性質を理解し、単に和や大小ではなく「差」に注目することが重要です。

正解の理由

よくある誤解

解法ステップ

1. ハッシュ関数の定義$h(x)=x\mathrm{mod}n$を確認する。
2. 衝突条件は$h(a)=h(b)$であることを理解する。
3. $a\mathrm{mod}n=b\mathrm{mod}n$を式変形し、$(a-b)\mathrm{mod}n=0$とする。
4. これより$a-b$が$n$の倍数であることを導く。
5. 選択肢の中から「$a-b$が$n$の倍数」を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

• ア: a+bがnの倍数
  → 和が$n$の倍数でも余りが一致するとは限らず、衝突条件ではない。
• イ: a-bがnの倍数
  → 正解。余りが同じなら差は$n$の倍数になる。
• ウ: nがa+bの倍数
  → $n$が$a+b$の倍数であっても余りの一致とは無関係。
• エ: nがa-bの倍数
  → $n$が$a-b$の倍数という表現は意味が逆で、衝突条件は$a-b$が$n$の倍数であること。

補足コラム

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