応用情報技術者 2023年春期午前2 問21

問題文

NAND素子を用いた次の組合せ回路の出力Zを表す式はどれか。ここで、論理式中“・”は論理積、“+”は論理和、“

\overline{X}

”はXの否定を表す。

選択肢

ア：

X \cdot Y

イ：

X + Y

（正解）

ウ：

\overline{X \cdot Y}

エ：

\overline{X + Y}

NAND素子を用いた組合せ回路の出力Zを表す式【午前2 解説】

要点まとめ

結論：この回路の出力Zは論理和 $X + Y$ を表します。
根拠：NANDゲートの特性と回路の構成から、NANDの多段接続がOR回路を実現しているためです。
差がつくポイント：NAND回路の否定の重ね方を理解し、デ・モルガンの法則を適用できるかが鍵です。

正解の理由

この回路は3つのNANDゲートで構成されており、入力XとYがそれぞれ2入力NANDゲートに接続されています。
各NANDゲートは入力を否定した論理積の否定を出力します。
上段と下段のNANDゲートはそれぞれ

\overline{X \cdot X} = \overline{X} = \overline{X}

と

\overline{Y \cdot Y} = \overline{Y}

と同等の動作をします。
最後のNANDゲートはこれらの出力を入力とし、

\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}}

を出力します。
デ・モルガンの法則より、

\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}} = X + Y

となり、選択肢イが正解です。

よくある誤解

NANDゲートは否定のANDと覚えてしまい、単純にANDやNANDのまま考えてしまうことが多いです。
また、否定の重ね合わせでORができることを知らず、

\overline{X \cdot Y}

や

\overline{X + Y}

と混同しやすいです。

解法ステップ

入力XとYがそれぞれ2入力NANDゲートの両方の入力に接続されていることを確認する。
それぞれのNANDゲートの出力は $\overline{X \cdot X} = \overline{X}$ 、 $\overline{Y \cdot Y} = \overline{Y}$ となる。
最後のNANDゲートの入力は $\overline{X}$ と $\overline{Y}$ であることを把握する。
出力は $\overline{\overline{X} \cdot \overline{Y}}$ であり、デ・モルガンの法則を用いて $X + Y$ に変換する。
選択肢の中から $X + Y$ に該当するものを選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $X \cdot Y$
NANDゲートの否定を考慮していないため誤り。単純なANDではない。
イ: $X + Y$
正解。NANDゲートの多段接続でOR回路を実現している。
ウ: $\overline{X \cdot Y}$
これは単一のNANDゲートの出力であり、回路全体の出力ではない。
エ: $\overline{X + Y}$
NORゲートの出力に相当し、この回路構成とは異なる。

補足コラム

NANDゲートは「万能ゲート」と呼ばれ、AND、OR、NOTなどあらゆる論理回路をNANDゲートだけで構成可能です。
今回の回路はNANDゲートを使ってOR回路を実現する典型例であり、デ・モルガンの法則の理解が重要です。
この知識はデジタル回路設計や論理回路の最適化に役立ちます。

FAQ

Q: なぜNANDゲートだけでOR回路が作れるのですか？
A: NANDゲートの出力はANDの否定であり、否定の重ね合わせによりデ・モルガンの法則を使ってOR回路を構成できるためです。

Q: デ・モルガンの法則とは何ですか？
A: 論理積と論理和の否定を入れ替える法則で、

\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}

、

\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}

です。

関連キーワード: NANDゲート、デ・モルガンの法則、論理回路、組合せ回路、論理和、論理積、否定

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応用情報技術者 2023年 春期 午前2 問21

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