応用情報技術者 2024年春期午前2 問02

問題文

ATM(現金自動預払機)が1台ずつ設置してある二つの支店を統合し、統合後の支店にはATMを1台設置する。統合後のATMの平均待ち時間を求める式はどれか。ここで、待ち時間はM/M/1の待ち行列モデルに従い、平均待ち時間にはサービス時間を含まず、ATMを1台に統合しても十分に処理できるものとする。　〔条件〕　(1) 統合後の平均サービス時間：

T_{s}

　(2) 統合前のATMの利用率：両支店とも

ρ

　(3) 統合後の利用者数：統合前の両支店の利用者数の合計

選択肢

ア：

\frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{s}

イ：

\frac{ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}

ウ：

\frac{2 ρ}{1 - ρ} \times T_{s}

エ：

\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}

（正解）

ATM統合後の平均待ち時間の計算【午前2 解説】

要点まとめ

結論：統合後のATMの平均待ち時間は $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$ で表されます。
根拠：M/M/1待ち行列モデルで利用率が合計され、サービス時間は変わらず、待ち時間はサービス時間を含まないためこの式になります。
差がつくポイント：利用率の合算と分母の「1-2\rho」の意味を正しく理解し、単純な加算や分母の誤りを避けることが重要です。

正解の理由

統合前の各ATMの利用率は

ρ

で、利用者数はそれぞれ同じです。統合後は利用者数が2倍になるため、利用率は

2 ρ

となります。M/M/1モデルの平均待ち時間（サービス時間を含まない）は

\frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{s}

です。これを利用率

2 ρ

に置き換えると、平均待ち時間は

\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}

となり、選択肢のエが正解です。

よくある誤解

利用率を単純に足すだけでなく、分母の「1-利用率」の部分も利用率の合計に応じて変化することを見落としがちです。
また、サービス時間を含むかどうかの区別を誤ると計算がずれます。

解法ステップ

統合前の各ATMの利用率を $ρ$ とする。
統合後の利用者数は2倍になるため、利用率は $2 ρ$ になると考える。
M/M/1待ち行列の平均待ち時間（サービス時間含まず）は $\frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{s}$ の形で表される。
利用率を $2 ρ$ に置き換え、式は $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$ となる。
選択肢の中からこれに該当するものを選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{ρ}{1 - ρ} \times T_{s}$
→ 統合前の1台分の待ち時間であり、利用率の合算を考慮していません。
イ: $\frac{ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$
→ 分母は正しいが、分子の利用率が1台分のままで不適切です。
ウ: $\frac{2 ρ}{1 - ρ} \times T_{s}$
→ 分子は合算したが、分母は統合前のままで矛盾しています。
エ: $\frac{2 ρ}{1 - 2 ρ} \times T_{s}$
→ 利用率の合算と分母の変化を正しく反映しているため正解です。

補足コラム

M/M/1待ち行列モデルは、到着がポアソン過程、サービス時間が指数分布に従う単一サーバの待ち行列モデルです。平均待ち時間は利用率

ρ

が1未満であることが前提で、

ρ

が1に近づくほど待ち時間は急増します。今回の問題では、統合後の利用率が

2 ρ

となるため、

2 ρ < 1

（すなわち

ρ < 0.5

）であることが前提です。

FAQ

Q: なぜ利用率は単純に2倍になるのですか？
A: 統合前の2台のATMの利用者数が同じであるため、統合後は利用者数が2倍になり、サービス時間は変わらないため利用率も2倍になります。

Q: 平均待ち時間にサービス時間は含まれないのはなぜですか？
A: 問題文で「平均待ち時間にはサービス時間を含まず」と明示されているため、待ち時間はキューで待つ時間のみを指します。

関連キーワード: M/M/1待ち行列モデル、利用率、平均待ち時間、ATM統合、待ち行列理論

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