応用情報技術者 2024年春期午前2 問14

問題文

1台のCPUの性能を1とするとき、そのCPUをn台用いたマルチプロセッサの性能Pが、

P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}

で表されるとする。ここで、aはオーバーヘッドを表す定数である。例えば、a=0.1, n=4とすると、P≒3なので、4台のCPUから成るマルチプロセッサの性能は約3になる。この式で表されるマルチプロセッサの性能には上限があり、nを幾ら大きくしてもPはある値以上には大きくならない。a=0.1の場合、Pの上限は幾らか

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選択肢

ア：5

イ：10（正解）

ウ：15

エ：20

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マルチプロセッサ性能上限【午前2解説】

正解の理由

性能

P

は

P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}

で表されます。

n

を非常に大きくすると、

(n - 1) a

が支配的になり、分母はほぼ

na

となります。
したがって、

n \to \infty lim P = n \to \infty lim \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a} \approx n \to \infty lim \frac{n}{na} = \frac{1}{a}

となり、

a = 0.1

の場合は

P

の上限は

10

です。
よって、イが正解です。

解法ステップ

性能式 $P = \frac{n}{1 + ( n - 1 ) a}$ を確認する。
$n$ を非常に大きくしたときの極限を考える。
分母の $1$ は無視できるほど小さくなるため、分母は約 $na$ と近似。
極限を計算し、 $P$ の上限は $\frac{1}{a}$ と導出。
$a = 0.1$ を代入し、 $P$ の上限は $10$ と判定。

選択肢別の誤答解説

ア: 5 — $a = 0.1$ の逆数は10なので、5は小さすぎる。
イ: 10 — 正解。 $1/ a$ の計算結果。
ウ: 15 — $a = 0.1$ の逆数ではなく、根拠がない。
エ: 20 — $a = 0.1$ の逆数の2倍で誤り。

よくある誤解

$n$ を大きくすれば性能も無限に上がると誤解しがちですが、オーバヘッド $a$ が性能の上限を決めます。
$a$ を無視して単純に $n$ 倍と考えると誤答につながります。

補足コラム

この式は「Amdahlの法則」に類似しており、並列処理の性能向上はオーバヘッドや並列化できない部分によって制限されます。オーバヘッド

a

が小さいほど性能の上限は高くなり、効率的な並列化が可能です。

FAQ

Q: なぜ

n

を大きくしても性能が無限に増えないのですか？
A: オーバヘッド

a

が増加分の性能を抑制し、分母が大きくなるため性能の増加が頭打ちになります。

a

が0の場合はどうなりますか？
A: オーバヘッドがないため、性能は理論上

n

倍に増加し、上限はありません。

関連キーワード: マルチプロセッサ、性能上限、オーバヘッド、Amdahlの法則、並列処理、極限計算

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