解説
和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。【午前2 解説】
要点まとめ
- 結論：和両立な関係RとSに対して、R∩SはR−(R−S)と等しいです。
- 根拠：R−SはRにあってSにない要素の集合であり、これをRから除くとRとSの共通部分が残ります。
- 差がつくポイント：集合演算の差と共通部分の関係を正確に理解し、和両立の意味を踏まえて式変形できるかが重要です。
正解の理由
選択肢アのR−(R−S)は、Rの中から「RにあってSにない要素」を除いた集合です。つまり、Rに含まれ、かつSにも含まれる要素、すなわちR∩Sと同じ集合を表します。和両立とはRとSの差集合が空であることを意味し、R−SとS−Rが共に空集合であるため、R∩SはRやSの要素そのものとなります。したがって、R−(R−S)はR∩Sと等しいです。
よくある誤解
差演算の順序を誤解し、R−SとS−Rを混同することがあります。また、和両立の意味を「共通部分が空」と誤解しがちですが、正しくは「差集合が空」です。
解法ステップ
- 和両立の定義を確認する：R−S=∅かつS−R=∅
- R∩Sの定義を確認する：RかつSに含まれる要素の集合
- R−(R−S)の意味を考える：RからRにあってSにない要素を除く
- 和両立の条件よりR−S=∅なので、R−(R−S)=R−∅=R
- R=Sとなるため、R∩S=R=R−(R−S)となることを確認する
選択肢別の誤答解説
- ア: 正解。R−(R−S)はR∩Sと等しい。
- イ: R−(S−R)はRからSにあってRにない要素を除くが、S−RはRにないSの要素なのでRには含まれず、結果はRのまま変わらない。R∩Sとは異なる。
- ウ: (R−S)−(S−R)はRにあってSにない要素から、SにあってRにない要素を除くが、和両立ならR−SもS−Rも空集合で結果は空集合となり、R∩Sとは異なる。
- エ: S−(R−S)はSからRにあってSにない要素を除くが、R−SはSにない要素なのでSから除く必要がなく、Sのまま。R∩Sとは異なる。
補足コラム
和両立（和両立性）は関係データベースや集合論で重要な概念で、2つの関係が互いに重複しないことを意味します。つまり、R−S=∅かつS−R=∅であり、結果的にR=Sとなります。これを理解すると、集合演算の式変形がスムーズになります。
FAQ
Q: 和両立とは何ですか？
A: 和両立とは、2つの関係や集合が互いに重複しないこと、つまり差集合が空集合である状態を指します。
Q: なぜR−(R−S)がR∩Sと等しいのですか？
A: R−SはRにあってSにない要素の集合なので、それをRから除くとRとSの共通部分だけが残るためです。
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