データベーススペシャリスト 2009年 午前2 問08

交差部の差集合表現【午前2解説】

正解の理由

• $x\in R-(R-S)$ であるならば、$x\in R$ かつ $x\notin (R-S)$ です。$x\notin (R-S)$ は「$x\in R$ かつ $x\notin S$」が成り立たないことを意味するので、$x\in R$ かつ $x\in S$ が成り立ちます。従って $x\in R\cap S$。
• 逆に $x\in R\cap S$ ならば $x\in R$ かつ $x\in S$ なので、$x$ は「$x\in R$ かつ $x\notin S$」には当てはまらず、よって $x\notin (R-S)$。したがって $x\in R-(R-S)$。

解法ステップ

1. 「差」を扱うときは要素（元）を一つ取り出して条件を確認する方法が確実：$x\in A-B$ は「$x\in A$ かつ $x\notin B$」であることを思い出す。
2. $R-(R-S)$ の元を仮定して、その元が $R$ と $S$ の両方に属することを示す（片方向）。逆向きも同様に示して等号を確定する。
3. 直感的には「$R$ から『$R$ だが $S$ でないもの』を取り除く」ので、残るのは $R$ と $S$ の共通部分のみ、という視覚的理解も有効。

選択肢別の誤答解説

• ア: $R-(R-S)$
  上述の通り $R\cap S$。よって正しい。
• イ: $R-(S-R)$
  $S-R$ は「$S$ で $R$ でない元」なので、$R$ に属する元は元々 $S-R$ に含まれない。従って $R-(S-R)=R$ となります。つまり常に $R\cap S$ とは一致しない（ただし特別に $R\subseteq S$ のときは一致する）。
• ウ: $(R-S)-(S-R)$
  $R-S$ と $S-R$ は互いに素（交わらない）なので、差を取っても変わらず $(R-S)-(S-R)=R-S$。これは $R\cap S$ とは一般に異なる。
• エ: $S-(R-S)$
  $R-S$ に含まれる元は $S$ の元ではないため、$S-(R-S)=S$。したがって一般に $R\cap S$ とは一致しない（ただし $S\subseteq R$ のときは一致する）。

よくある誤解

• 「和両立＝差集合が空」という誤解：和両立（問題文の用語の意味に依らず）を差集合が空であると誤って仮定すると、恒等式の一般性を失い誤答につながります。本問の恒等式は追加条件不要で常に成り立ちます。
• 差集合を「順序に依存しない」と考える誤り：$A-B$ は一般に $B-A$ と異なるため、順序を注意する必要があります。
• 「差を取れば常に共通部が出る」との直感：$R-(S-R)$ や $S-(R-S)$ のように、差を取っても元が全く除かれない場合（結果が元集合のままになる場合）があることを忘れがちです。

補足コラム

• 一般の集合についての便利な恒等式：
  • $A-(A-B)=A\cap B$（本問の一般形）
  • $A-(B-A)=A$（$B-A$ は $A$ に含まれないので除去の影響がない）
  • sym: $B-(B-A)=A\cap B$（$A,B$ を入れ替えれば同様）
• ベン図（Venn図）で考えると直感的に理解しやすいです。R の領域から「R で S でない領域」を取り除くと、残るのは R と S の重なり部分だけになります。

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