データベーススペシャリスト 2010年午前2 問12

問題文

次の関係 R, S, T, U において、関係代数表現 R×S÷T×U の演算結果はどれか。ここで、×は直積、÷は商、-は差の演算を表す。

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選択肢

ア：（正解）

イ：

ウ：

エ：

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商演算【午前2解説】

正解の理由

商（÷）は次のように定義されます。

X \div Y = {t (属性は X - Y) ∣ \forall u \in Y, t \cup u \in X}

。
すなわち、商の結果は「除算される方

X

の属性から除かれる方

Y

の属性を取り除いた残りの属性について、

Y

の全ての組を付け加えても

X

に含まれる組だけ」を返します。

本問では、まず

(R \times S)

を

A, B, C

の関係とみなし、これを

T

（属性

A

）で割ると属性は

B, C

になります。

(R \times S) \div T

を計算すると

(B, C)

の候補は

(a, x)

と

(a, y)

の両方が条件を満たします。さらに問題文の式にある差（−）的な除去を U の値で行う（U に

(a, x)

が含まれる）と、残るのは

(a, y)

だけです。したがって最終的な表は (B,C) = (a,y) の一行となり、選択肢アが該当します。

解法ステップ

R×S を作る（属性は A,B,C）。R の各行に対して S の各 C 値を結合する：
- R の行 (1,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a) と S={x,y} から得られる (A,B,C) は次の10組： (1,a,x),(1,a,y),(2,b,x),(2,b,y),(3,a,x),(3,a,y),(3,b,x),(3,b,y),(4,a,x),(4,a,y)
T の A 値は {1,3}。商 $(R \times S) \div T$ の定義により、候補となる (B,C) は「A が 1 と 3 の両方について (A,B,C) が上の R×S に存在する」組：
- (a,x) を見ると (1,a,x) と (3,a,x) はどちらも存在 → 合格
- (a,y) を見ると (1,a,y) と (3,a,y) はどちらも存在 → 合格
- (b,x) では (1,b,x) が存在しない → 不合格
- (b,y) では (1,b,y) が存在しない → 不合格よって $(R \times S) \div T = {(a, x), (a, y)}$ （属性は B,C）。
最後に問題文の式で U が関与する部分（差として扱う）を考えると、U は (B,C) = (a,x),(c,z) を含む。差を取ると $(a, x)$ が除かれ、残るのは $(a, y)$ のみ：
- ${(a, x), (a, y)} - {(a, x), (c, z)} = {(a, y)}$

以上により最終結果は B=a, C=y の一行で、選択肢アの記述と一致します。

選択肢別の誤答解説

ア：正しい。上で示した通り、最終的に (B,C)=(a,y) の一行が残るため一致する。
イ： $(b, x)$ を主張しているが、A=1 のとき (1,b,x) が R×S に存在しないため、T の全 A 値を満たさず不正解。
ウ：複数行を含むが、(a,x) が U によって除去される点を無視しているか、あるいは商の「∀（全て）」条件を誤解している（また「y−x」のような表記は集合差の誤用で混乱を招く）。
エ：(a, y−x) のような表記や (−c, −z) の意味が曖昧で誤り。U にある (c,z) はもともと $(R \times S) \div T$ に含まれないため、こうした負の表記は意味をなさない。

よくある誤解

商を「差（−）の反対」や「除外する操作」と誤解する：商は「ある属性群について全ての組が存在するか」を調べる全称（∀）の操作で、単純な差とは根本的に異なります。
演算の順序を曖昧に扱う：×や÷などは結合順序で結果が変わる場合があるので、式の括弧や問題文の意図（どの演算を先にするか）を確認すること。
商の結果属性を誤る： $X \div Y$ の属性は必ず $X$ の属性集合から $Y$ の属性集合を取り去ったものになる（ $X - Y$ ）。

補足コラム

商演算は自然言語で言うと「ある属性の組（例えば B の値）が、別の属性群（ここでは A）のどの値と組になっても常に存在するか」を検査する操作です。実装的には SQL で「for all」を表現するために NOT EXISTS と組合せた除外表現や、次の同値変換を使います：

R (A, B) \div S (B) = π_{A} (R) - π_{A} ((π_{A} (R) \times S) - R)

この式は「まず A の候補を取り出し、候補 × 全ての B（S）を作って R にない組があれば除外する」という構成です。実際の試験対策では、商を直接扱うよりこのような射影・直積・差の組合せで判定すると手計算しやすくなります。

FAQ

Q1. 商の divisor の属性が

X

と同じ場合、結果はどうなる？
A1. その場合

X - Y

が空集合になり、定義により「空属性のタプル（空タプル）が条件を満たすかどうか」が問題になります。全ての u∈Y について t∪u∈X を満たすならば空タプルを含む一行（＝1行）を返し、満たさなければ空集合になります。

Q2. 商を手計算するときの実務的なコツは？
A2. (1) X を列挙して candidate（X の属性から Y を除いた投影）を作る、(2) 各 candidate について Y の全組と結合して X に含まれるかをチェック、(3) 不足があれば除外。必要なら差の式による同値変形を用いるとミスが減ります。

関連キーワード: 関係代数, 商, 直積, 差, 射影