データベーススペシャリスト 2022年 午前2 問10

集合差と交差の関係【午前2解説】

正解の理由

解法ステップ

1. 基本恒等式を思い出す：$A=(A\cap B)\cup (A-B)$（右辺は互いに素）。
2. 問題の式 $R-(R-S)$ に対して，$R$ を上式で置き換える。
3. $R$ のうち $R-S$ を引けば，残るのは $R\cap S$ のみであると結論づける。
   （補助的に補集合を使うと $R-(R-S)=R\cap (R-S{)}^c=R\cap (R^c\cup S)=R\cap S$ と示すこともできます。）

選択肢別の誤答解説

• ア: $(R-S)-(S-R)$
  $(R-S)$ と $(S-R)$ は互いに交わらない（同一要素が両方に入ることはありえない）ため，差を取っても元の $(R-S)$ が残ります。よってアは $R-S$ と等しく，$R\cap S$ ではありません。
• イ: $R-(R-S)$
  上の理由の通り，$R$ を $(R\cap S)$ と $(R-S)$ に分け，後者を取り除くため残るのは $(R\cap S)$ です。故に正しい選択です。
• ウ: $R-(S-R)$
  $S-R$ は $R$ に含まれない要素だけからなるため，$R$ からそれらを引いても $R$ は変わりません。よってウは $R$ と等しい式になります（$R-(S-R)=R$）。
• エ: $S-(R-S)$
  同様に $R-S$ は $S$ には含まれないため，$S$ から引いても影響がなく，エは $S$ と等しくなります。

よくある誤解

• 和両立（union-compatible）を「共通部分が存在する」と誤解する。正しくは「属性（スキーマ）が一致して集合演算（和・差・交差など）が適用可能な形であること」を指します。要素の有無（空であるか否か）を意味しません。
• 差演算の順序や括弧の影響を見落とし，例えば $R-(S-R)$ と $R-(R-S)$ を混同してしまう。差は順序依存であり，どの集合を引くかで結果が変わります。
• $(A-B)-(C-D)$ のような複合式を直感で「対称差」などと誤認する。まずは各部分を基本恒等式で分解して考えることが重要です。

補足コラム

• $A=(A\cap B)\cup (A-B)$（分解）
• $A-B=A\cap B^c$（差と補集合）
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$（分配律）

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