データベーススペシャリスト 2022年午前2 問10

問題文

和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。ここで、-は差演算、∩は共通集合演算を表す。

選択肢

ア：(R-S)-(S-R)

イ：R-(R-S)（正解）

ウ：R-(S-R)

エ：S-(R-S)

和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。【午前2 解説】

正解の理由

和両立な関係RとSは共通部分が存在します。

R - (R - S)

は「Rのうち、RにあってSにない要素を除いたもの」、つまり「RかつSに属する要素」、すなわち

R \cap S

と同じ集合を表します。
他の選択肢は差集合の組み合わせが異なり、

R \cap S

と等しくなりません。

解法ステップ

和両立の定義を確認し、 $R$ と $S$ の共通部分が存在することを理解する。
各選択肢の集合演算を具体的に展開し、意味を整理する。
$R - (R - S)$ の意味を「Rの中でSにも属する要素」と解釈する。
他の選択肢と比較し、 $R \cap S$ と等しいか検証する。
正しい選択肢を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: $(R - S) - (S - R)$ は「RにあってSにない要素」から「SにあってRにない要素」を除く集合で、 $R \cap S$ とは異なります。
イ: $R - (R - S)$ は「RのうちSにも属する要素」、すなわち $R \cap S$ と等しいため正解です。
ウ: $R - (S - R)$ は「RからSにあってRにない要素を除く」ですが、 $S - R$ は $R$ に含まれないため除く要素が異なり、 $R \cap S$ と一致しません。
エ: $S - (R - S)$ は「SからRにあってSにない要素を除く」集合で、 $R \cap S$ と同じとは限りません。

よくある誤解

差演算の順序や意味を誤解し、「

R - S

」と「

S - R

」の違いを混同しやすいです。
また、和両立の定義を「共通部分が空集合」と誤認することもあります。

補足コラム

和両立（和集合が両立する）とは、集合の共通部分が空集合でないことを指す場合がありますが、文脈により異なります。
集合演算の基本は、差集合

A - B

が「AにあってBにない要素全体」であることを正確に理解することが重要です。
また、

R \cap S

は「RかつSに属する要素全体」を意味し、差集合を使って表現することも可能です。

FAQ

Q: 和両立とは何ですか？
A: 和両立とは、2つの関係や集合が共通部分を持つことを指し、重複がある状態を意味します。

Q: 差集合の計算で気をつけるポイントは？
A: 差集合は順序が重要で、

A - B

は「AにあってBにない要素」を表します。順序を逆にすると意味が変わります。

R \cap S

を差集合で表す方法は？
A:

R \cap S = R - (R - S)

または

S - (S - R)

と表現できます。

関連キーワード: 集合演算、差集合、共通部分、和両立、関係演算、午前2, 基本集合論

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