エンベデッドシステムスペシャリスト 2011年午前2 問06

問題文

故障発生率が

1.0 \times 1 0^{- 6}

回／秒である機器10,000台が稼働している。330時間経過後に、故障していない機器の平均台数に最も近いものはどれか。ここで、故障発生率は経過時間によらず一定で、故障した機器は修理しない。また、必要であれば、故障発生率を

λ

回／秒、稼働時間を

t

秒とする次の指数関数のグラフから値を読み取って、計算に使用してよい。

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選択肢

ア：3,000（正解）

イ：5,000

ウ：7,000

エ：9,000

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故障率と機器の生存台数【午前2解説】

正解の理由

故障発生率が一定の機器が、時間

t

の後も故障していない確率は、指数関数

F (t) = exp (- λ t)

で求められます。機器が故障せずに稼働している確率に、台数を掛けると、故障していない機器の平均台数が求められます。

330時間を秒に換算すると、

330 \times 3, 600 = 1, 188, 000 秒

です。したがって、

λ t = 1.0 \times 1 0^{- 6} \times 1, 188, 000 = 1.188

となります。故障していない確率は、

F (t) = exp (- 1.188) \approx 0.305

です。よって、故障していない機器の平均台数は、

10, 000 \times 0.305 \approx 3, 050 台

となり、最も近いのはアの3,000台です。

解法ステップ

稼働時間を秒に換算します。
$330 \times 3, 600 = 1, 188, 000$ 秒です。
故障発生率 $λ$ と稼働時間 $t$ の積を求めます。
$λ t = 1.188$ です。
故障していない確率を求めます。
$F (t) = exp (- 1.188) \approx 0.305$ です。
稼働台数に確率を掛けます。
$10, 000 \times 0.305 \approx 3, 050$ 台です。
選択肢の中から最も近い台数を選びます。

選択肢別の誤答解説

ア：3,000台です。計算結果の約3,050台に最も近いため、適切です。
イ：5,000台です。稼働台数の半数に相当しますが、故障していない確率は約0.305なので、残存台数としては多すぎます。
ウ：7,000台です。故障していない確率を約0.7と見積もった場合の台数ですが、 $λ t = 1.188$ では確率は約0.305です。
エ：9,000台です。故障していない確率を約0.9と見積もった場合の台数ですが、この稼働時間では当てはまりません。

よくある誤解

時間の単位を換算しない
故障発生率は「1秒当たり」で与えられているため、稼働時間も秒にそろえる必要があります。
故障発生率を故障する確率とみなす
故障発生率 $λ$ は、一定時間内に故障する確率そのものではありません。稼働時間を含めて $exp (- λ t)$ を計算します。
故障していない確率ではなく、故障する確率を台数に掛ける
求めるのは故障していない機器の台数です。使うのは故障確率ではなく、生存確率 $F (t)$ です。

補足コラム

故障発生率が一定の場合、時間が経過しても単位時間当たりの故障しやすさは変わらないと考えます。このモデルでは、故障していない確率が時間とともに指数関数的に減少します。

グラフを使う場合は、横軸の

λ t = 1.188

に対応する縦軸の値を読み取ります。およそ0.3となるため、計算結果の確認にも使えます。

FAQ

Q. 「平均台数」とは、実際の稼働台数を正確に予測した値ですか？
A. いいえ。各機器が故障していない確率から求める期待値です。実際の台数は、故障の起こり方によって多少前後します。

Q. 故障した機器を修理しない条件は、計算にどう関係しますか？
A. 故障後に稼働状態へ戻る機器がないため、生存確率から求めた台数が、その時点で故障していない機器の平均台数になります。

関連キーワード: 故障発生率、指数分布、生存確率、期待値

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