エンベデッドシステムスペシャリスト 2019年午前2 問18

問題文

共通鍵暗号方式において、100人の送受信者のそれぞれが、相互に暗号化通信を行うときに必要な共通鍵の総数は幾つか。

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ア：200

イ：4,950（正解）

ウ：9,900

エ：10,000

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共通鍵暗号方式では、通信する2人が同じ鍵を共有します。100人が相互に通信する場合、必要な鍵の数は「100人から2人を選ぶ組合せの数」です。

(2 100) = \frac{100 \times 99}{2} = 4, 950

したがって、正解はイです。鍵は通信相手の組ごとに1つ必要であり、AさんとBさんの通信で使う鍵は、BさんとAさんの通信でも共通して使うため、同じ鍵を二重には数えません。

ア：200
1人当たり2個など、人数に対して単純な掛け算をした値です。鍵は送信者や受信者ごとではなく、通信する相手の組ごとに必要です。
イ：4,950
100人から2人を選ぶ組合せの数です。各ペアが1つの鍵を共有するため、これが正解です。
ウ：9,900
$100 \times 99$ と計算した値です。これは「誰から誰へ送るか」を区別して数えたものですが、通信の向きを逆にした組も同じ鍵を使うため、2で割る必要があります。
エ：10,000
$100 \times 100$ と計算した値です。各人が自分自身と通信する組まで含めているうえ、同じペアを重複して数えています。

共通鍵暗号方式は、通信する双方が同じ鍵を使うため、暗号化と復号が効率的です。一方、利用者が増えると必要な鍵が急増します。利用者が

n

人の場合、鍵の総数は次の式で求められます。

\frac{n ( n - 1 )}{2}

このように、鍵を安全に配布・管理する仕組みが重要になります。

なぜ100人それぞれに1個ずつ鍵を割り当てるのではないのですか？
共通鍵は通信する2人が共有する鍵だからです。相手が異なれば、別の鍵が必要になります。

なぜ最後に2で割るのですか？

100 \times 99

では、AさんとBさんの組を「AさんからBさん」と「BさんからAさん」の2回数えているためです。1つのペアを1回だけ数えるため、2で割ります。

人数が2倍になると、鍵の数も2倍になりますか？
いいえ。鍵の数は人数の2乗に近い割合で増えます。人数が増えるほど、鍵の管理負担も大きくなります。

関連キーワード: 共通鍵暗号方式、鍵管理、組合せ、暗号鍵

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