基本情報技術者 2009年秋期午後問01

半加算器と全加算器に関する次の記述を読んで、設問1～3に答えよ。

(1) 1ビット同士を加算する半加算器の真理値表を、表1に示す。

(2) 下位からのけた上がり

C_{in}

を考慮して1ビット同士を加算する全加算器の真理値表を、表2に示す。

設問1：

問題文を見る

　半加算器を実現する論理回路を、図1に示す。図1中のに入れる正しい答えを、解答群の中から選べ。ただし、ANDは論理積、ORは論理和、XORは排他的論理和、NANDは否定論理積、NORは否定論理和を表す。

解答群　ア：AND 　イ：NAND 　ウ：NOR 　エ：OR 　オ：XOR

模範解答

a：オ

解説

解答の導き方

この問題では、図1の上側のブロックに入る論理を選びます。上側のブロックの出力は

Z

、下側のブロックの出力はけた上がり

C

です。

まず、半加算器は1ビットの

X

と

Y

を加算します。二進数では、

1 + 1 = 10

です。この場合、加算結果の下の桁は

Z = 0

、次の桁へのけた上がりは

C = 1

になります。

表1を、入力

X

と

Y

に対する出力

Z

に注目して確認します。

$X$	$Y$	$Z$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Z

は、

X

と

Y

が異なるときにだけ1になります。この働きをするのが、排他的論理和です。XOR（Exclusive OR：排他的論理和）は、入力が異なるときに1を出力します。

一方、図1の下側のブロックはAND（論理積）で、

X

と

Y

の両方が1のときにけた上がり

C = 1

を出力します。したがって、上側のブロックは、けた上がりではなく、表1の

Z

の値に合う論理でなければなりません。

選択肢のOR（論理和）は、

X

と

Y

が両方1のときも1を出力するため、表1の

Z

とは一致しません。表1のとおり、入力が異なるときだけ1を出力するXORが、図1のaに入ります。

誤りやすいポイント

$X$ と $Y$ が両方1のとき、 $Z$ は0で、けた上がり $C$ は1です。 $Z$ と $C$ を取り違えないようにします。
ORは、どちらか一方でも1なら出力が1になります。両方の入力が1のときも1になるため、 $Z$ の論理には合いません。
ANDは、図1でけた上がり $C$ を出すために使われています。上側のブロックに入る論理とは役割が異なります。

FAQ

Q: けた上がり

C

は、どのようなときに発生しますか？
A:

X = 1

かつ

Y = 1

のときです。二進数の

1 + 1 = 10

では、下の桁が

Z = 0

、次の桁へのけた上がりが

C = 1

になります。

Q: なぜ半加算器には「半」が付くのですか？
A: 半加算器は、

X

と

Y

に加えて、下位からのけた上がりを入力として扱わないためです。下位からのけた上がりも考慮する加算器は、全加算器です。

関連キーワード: 半加算器、排他的論理和、論理積、真理値表、けた上がり

解説を読んでも分からないところは、AIに質問できます。この問題の本文と解説をふまえて答えます。

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設問2：

問題文を見る

　全加算器を実現する論理回路について、次の記述中のに入れる正しい答えを、解答群の中から選べ。

　全加算器は、図2に示すように半加算器を2段に接続して実現する。半加算器1はXとYを加算し、半加算器2は半加算器1の結果と

C_{in}

を加算する。このとき、半加算器1のけた上がりを

C_{1}

、半加算器2のけた上がりを

C_{2}

とする。X, Y,

C_{in}

と、

C_{1}

、

C_{2}

との関係は表3のとおりになる。

bに関する解答群　ア：AND 　イ：NAND 　ウ：NOR 　エ：OR 　 cに関する解答群基本情報技術者試験（平成21年午後問1 設問2 解答群）

模範解答

b：エ、c：ウ

解説

解答の導き方

この問題では、図2の全加算器で、2つの半加算器から出るけた上がり

C_{1}

と

C_{2}

をどのようにまとめるかを考えます。

まず、半加算器1は

X

と

Y

を加算します。表1を見ると、

X = 1

、

Y = 1

のときだけ、けた上がりが

1

になります。このけた上がりが

C_{1}

です。同じ行では、半加算器1の和は

0

です。

次に、半加算器2は、半加算器1の和と

C_{in}

を加算します。半加算器2から出るけた上がりが

C_{2}

です。図2では、

C_{1}

と

C_{2}

が最後のブロックに入力され、そこから全加算器のけた上がり

C

が出ます。全体の加算でけた上がりが発生するのは、

C_{1}

または

C_{2}

のどちらかが

1

のときです。

つまり、最後のブロックは、入力のどちらかが

1

なら出力が

1

になるOR（論理和）です。選択肢ではエに当たります。

続いて、表3の最後の行を考えます。

C_{in} = 1

、

X = 1

、

Y = 1

です。半加算器1では

1 + 1

を計算するため、和は

0

、けた上がり

C_{1}

は

1

です。半加算器2では、その和

0

と

C_{in} = 1

を加算するので、けた上がり

C_{2}

は

0

です。

したがって、c欄は

C_{1} = 1

、

C_{2} = 0

の組合せです。解答群ではウに当たります。

誤りやすいポイント

全加算器のけた上がり $C$ と、半加算器1・半加算器2のけた上がり $C_{1}$ 、 $C_{2}$ を混同しないようにします。 $C_{1}$ と $C_{2}$ を最後にまとめたものが $C$ です。
$C_{1}$ と $C_{2}$ の両方が $1$ のときだけ出力する、と考えるのは誤りです。どちらか一方でもけた上がりがあれば、全体としてけた上がりが発生します。
c欄では、 $X$ と $Y$ の加算だけで終わらず、その和に $C_{in}$ を加えるところまで確認します。半加算器1の和は、半加算器2への入力になります。

FAQ

Q: 半加算器1で

X = 1

、

Y = 1

のとき、なぜ半加算器2のけた上がり

C_{2}

は

0

なのですか。
A:

1 + 1

の和は

0

で、けた上がりは

1

です。半加算器2が加算するのは、この和

0

と

C_{in} = 1

です。

0 + 1

ではけた上がりが発生しないため、

C_{2} = 0

です。

Q: ORは、入力が両方とも

1

のときだけ出力が

1

になる演算ですか。
A: いいえ。ORは、入力の少なくとも一方が

1

なら出力が

1

になります。両方とも

0

のときだけ、出力は

0

です。

関連キーワード: 半加算器、全加算器、真理値表、論理和、けた上がり

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設問3：

問題文を見る

　A, B及びSを2の補数表現による4ビットの符号付2進整数とし、それぞれのビット表現を

A_{4} A_{3} A_{2} A_{1}

B_{4} B_{3} B_{2} B_{1}

及び

S_{4} S_{3} S_{2} S_{1}

で表す（符号ビットは

A_{4}

B_{4}

及び

S_{4}

）。　図3は、AとBの加算を行い、結果をSに求める加算器であり、半加算器と全加算器で実現されている。ここで、

C_{1}

〜

C_{4}

は半加算器及び全加算器からのけた上がりを表す。　この加算器に、Aとして−1を、Bとして−2（いずれも10進表記）を与えたとき、図3の

C_{1}

〜

C_{4}

の値として正しい組合せを、解答群の中から選べ。

解答群

模範解答

エ

解説

解答の導き方

この問題では、図3の加算器が順番に出すけた上がり

C_{1}

〜

C_{4}

を求めます。

本文には、

A

と

B

は「2の補数表現による4ビットの符号付2進整数」とあります。2の補数表現とは、負の数を決められたビット数で表す方法です。

まず、入力する値を4ビットで表します。

$- 1$ は $1111$ です。 $1$ の4ビット表現 $0001$ の各ビットを反転して $1110$ とし、さらに $1$ を加えると $1111$ になります。
$- 2$ は $1110$ です。 $2$ の4ビット表現 $0010$ の各ビットを反転して $1101$ とし、さらに $1$ を加えると $1110$ になります。

本文では、ビット表現を

A_{4} A_{3} A_{2} A_{1}

、

B_{4} B_{3} B_{2} B_{1}

としています。つまり、右端の

A_{1}

と

B_{1}

が最も下位のビットです。図3では、この下位の桁から順に加算します。

半加算器は、2つのビットを加算する回路です。全加算器は、2つのビットに加えて、下位からのけた上がりも加算する回路です。図3の最初の段は半加算器なので、下位からのけた上がりはありません。2段目以降は全加算器なので、直前の段からのけた上がりも加えます。

処理する桁	加算	結果ビット	その段からのけた上がり
$A_{1}$ 、 $B_{1}$	$1 + 0 = 1$	$S_{1} = 1$	$C_{1} = 0$
$A_{2}$ 、 $B_{2}$	$1 + 1 + C_{1} = 1 + 1 + 0 = 2$	$S_{2} = 0$	$C_{2} = 1$
$A_{3}$ 、 $B_{3}$	$1 + 1 + C_{2} = 1 + 1 + 1 = 3$	$S_{3} = 1$	$C_{3} = 1$
$A_{4}$ 、 $B_{4}$	$1 + 1 + C_{3} = 1 + 1 + 1 = 3$	$S_{4} = 1$	$C_{4} = 1$

合計が

2

のときは2進数で

10

となり、結果ビットが

0

、けた上がりが

1

です。合計が

3

のときは

11

となり、結果ビットが

1

、けた上がりが

1

です。

以上から、

C_{1}

〜

C_{4}

は順に

0, 1, 1, 1

です。解答群では、この組合せに当たるのはエです。

誤りやすいポイント

ビットを処理する順番を間違える
$A_{4} A_{3} A_{2} A_{1}$ の右端にある $A_{1}$ が最初に加算するビットです。図3も、 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ の段から順にけた上がりを渡しています。
負の数をそのまま符号と大きさで表してしまう
2の補数表現では、 $- 1$ は $1111$ 、 $- 2$ は $1110$ です。正の数のビット表現にマイナス記号を付けるのではありません。
けた上がりを次の段に加え忘れる
2段目以降の全加算器では、入力ビット2つだけでなく、前の段からのけた上がりも加算します。例えば3段目では $C_{2}$ を加えます。
$C_{4}$ を結果の符号ビットと混同する
$C_{4}$ は最上位の桁から外へ出るけた上がりです。結果の符号ビットは $S_{4}$ なので、両者は別の値です。

FAQ

Q: 最初の段だけ半加算器なのはなぜですか？
A: 最初に加算する最下位の桁には、さらに下位の桁がありません。そのため、下位からのけた上がりを加える必要がなく、2つのビットを加算する半加算器を使います。

C_{4} = 1

なのに、結果は

- 3

と考えてよいのですか？
A: はい。4ビットの結果

1101

は、2の補数表現で

- 3

です。

C_{4}

は最上位の桁から出たけた上がりであり、結果の符号や表せる数の範囲を超えたことをそのまま意味するものではありません。

Q: けた上がりが出るかどうかは、どう判断しますか？
A: その段の加算結果が

2

以上なら、けた上がりは

1

です。例えば

1 + 1 = 2

は2進数で

10

なので、結果ビットは

0

、けた上がりは

1

です。

関連キーワード: 半加算器、全加算器、2の補数、けた上がり、真理値表

解説を読んでも分からないところは、AIに質問できます。この問題の本文と解説をふまえて答えます。

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半加算器と全加算器に関する次の記述を読んで、設問1～3に答えよ。

.css-epvm6{white-space:nowrap;}設問1：

模範解答

解説

解答の導き方

誤りやすいポイント

FAQ

設問2：

模範解答

解説

解答の導き方

誤りやすいポイント

FAQ

設問3：

模範解答

解説

解答の導き方

誤りやすいポイント

FAQ

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