基本情報技術者 2009年春期午前（科目A）問03

問題文

論理式

\overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})}

と等しいものはどれか。ここで、・は論理積、＋は論理和、

\overline{X}

はXの否定を表す。

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選択肢

ア：

A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot C

（正解）

イ：

\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{C}

ウ：

(A + \overline{B}) \cdot (\overline{A} + C)

エ：

(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})

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ド・モルガンの法則による論理式変形【午前解説】

正解の理由

正解はアです。理由を式変形で示します。元式を

X = (\overline{A} + B)

、

Y = (A + \overline{C})

とすると

\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}

を使い、

\overline{(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})} = \overline{\overline{A} + B} + \overline{A + \overline{C}} .

さらにド・モルガンで各和の否定を積に変え、二重否定を整理すると

\overline{\overline{A} + B} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{B} = A \cdot \overline{B},

\overline{A + \overline{C}} = \overline{A} \cdot \overline{\overline{C}} = \overline{A} \cdot C .

従って合成して

A \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot C

となり、選択肢アと一致します。

解法ステップ

元式を $X = (\overline{A} + B)$ 、 $Y = (A + \overline{C})$ と置く。
積の否定にド・モルガンを適用： $\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$ 。
各和の否定を個別にド・モルガンで変形： $\overline{\overline{A} + B} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{B}$ 等。
二重否定を消して簡約化し、最終的に和の形にまとめる。
得られた式と選択肢を照合して正誤を判断する。

選択肢別の誤答解説

ア: 正解。上記の変形で一致します。
イ: $\overline{A} \cdot B + A \cdot \overline{C}$ は各項の否定の位置が逆転しており、元式の否定変換とは異なります。読み替えると $A$ と $\overline{A}$ の配置が入れ替わっているため整合しません。
ウ: $(A + \overline{B}) \cdot (\overline{A} + C)$ は元式の各因子の否定や和積の順序が変わった形で、元の否定と等しくありません。因子同士の入れ替えや分配則だけでは到達できない式です。
エ: $(\overline{A} + B) \cdot (A + \overline{C})$ は元式そのもの（否定が外れていない）であり、元式の否定ではないため不正解です。

よくある誤解

ド・モルガンの適用で「和の否定→和」など変換を逆にしてしまい、和と積を混同する。
二重否定 $\overline{\overline{X}} = X$ を見落とし、不要な否定を残してしまう。
元式と選択肢の見た目が似ているため、補集合（否定）がかかっているかどうかを確認せずに選んでしまう。

補足コラム

ド・モルガンの法則はブール代数で最も使う基礎規則の一つです。実務でも論理回路の簡略化や条件式整理に頻繁に使います。速く安全に解くには「否定がかかっているまとまり」を素早く見つけ、そのまとまりごとにド・モルガンを適用していくとよいでしょう。Karnaugh マップや真理値表で検算するのも確実な方法です。

FAQ

Q: ド・モルガンを忘れたらどう確認すればよいですか？
A: 真理値表で各組合せの出力を比較すれば正誤を確認できます。変形の前後で全8組合せが一致すれば等価です。

Q: 分配則で別の同値形に変形できますか？
A: はい、分配則や結合法則を組み合わせれば別の標準形（和積標準形・積和標準形）に変形可能ですが、まずはド・モルガンで否定を処理するのが手早いです。

Q: 直接読むコツはありますか？
A: 否定が外側にある場合は「外側→内側」へ展開する（否定を中の和積に分配）習慣をつけるとミスが減ります。

関連キーワード: ブール代数、ド・モルガンの法則、否定変換、論理式変形、論理回路、真理値表

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