基本情報技術者 2010年秋期午前（科目A）問01

問題文

16進小数3A.5Cを10進数の分数で表したものはどれか。

選択肢

ア：

\frac{939}{16}

イ：

\frac{3735}{64}

（正解）

ウ：

\frac{14939}{256}

エ：

\frac{14941}{256}

16進小数3A.5Cを10進数の分数で表したものはどれか。【午前2 解説】

要点まとめ

結論：16進小数 3A.5C は 10進の既約分数で $\frac{3735}{64}$ に等しく、10進値は約 58.359375 です。
根拠：整数部は $3 A_{16} = 3 \times 16 + 10 = 58$ 、小数部は $0.5 C_{16} = 5/16 + 12/256 = 23/64$ と求まり合成できます。
差がつくポイント：小数部は桁数に応じて分母を $1 6^{m}$ に揃えて通分すること、'A'＝10 を忘れないことが重要です。

正解の理由

16進数 3A.5C は各桁を 16 の冪で評価して足し合わせます。整数部と小数部を分けて計算すると次のようになります。

整数部：

3 A_{16} = 3 \times 1 6^{1} + 10 \times 1 6^{0} = 48 + 10 = 58

。

小数部：

0.5 C_{16} = 5 \times 1 6^{- 1} + 12 \times 1 6^{- 2} = \frac{5}{16} + \frac{12}{256} = \frac{80 + 12}{256} = \frac{92}{256} = \frac{23}{64}

。

したがって全体は

58 + \frac{23}{64} = \frac{58 \times 64 + 23}{64} = \frac{3712 + 23}{64} = \frac{3735}{64} .

よって選択肢はイが正解です。

よくある誤解

小数部の分母を誤って $16$ のみ（あるいは $1 6^{1}$ ）にしてしまい、桁数に応じた $1 6^{m}$ を使わないミス。
'A' や 'C' を文字どおり扱わず数字（例: A→1）と誤認するか、16進であることを忘れて十進計算してしまうミス。
通分や約分の局面で 256 と 64 を混同して計算ミス（分子が ±1 されるような単純な誤差）が生じること。

解法ステップ

16進表記を整数部と小数部に分ける（ここでは 3A と .5C）。
各桁を 16 の冪で評価する（整数部は正の冪、小数部は負の冪）。
小数部は分母を $1 6^{m}$ （小数桁数 m）に揃えて通分する。
整数部を分母と同じに揃えて足し、分子を計算する。
必要なら約分して既約分数にする（今回 $\frac{3735}{64}$ は既約）。

選択肢別の誤答解説

ア: $\frac{939}{16}$ → 小数に直すと $939/16 = 58.6875$ 。本来の値 $58.359375$ と異なります。小数部を $11/16$ のように誤って計算した場合に生じる値です。
イ: $\frac{3735}{64}$ （正解） → 上の通り、整数部 58 と小数部 $23/64$ を合成した既約分数です。
ウ: $\frac{14939}{256}$ → 小数に直すと約 $58.35546875$ 。正しい分母 256 にした場合の分子は $14940$ であり、 $14939$ は通分・加算で 1 を引き間違えた誤差から生じます。
エ: $\frac{14941}{256}$ → 小数に直すと約 $58.36328125$ 。同様に通分時に +1 の誤差が入った場合に対応する誤答です。正しい分子は $14940$ （＝ $3735 \times 4$ ）となります。

補足コラム

小数部が m 桁のとき、分母は常に $1 6^{m}$ （16進なら）に揃えること。今回 .5C は2桁なので分母は $1 6^{2} = 256$ 。
16進は 4 ビット単位なので、16進小数を2進小数に展開すると扱いやすい場合があります。例えば 5C_{16} → 0101 1100_{2} として、位置づけを考えると分数化が直感的にできます。
実務で検算するには小数に直して比較（例: 約 58.359375）するのがおすすめです。

簡単な検算用 Python（Fraction を使う例）

from fractions import Fraction
def hex_frac_to_fraction(s):
    if '.' in s:
        intpart, fracpart = s.split('.')
    else:
        intpart, fracpart = s, ''
    int_val = int(intpart, 16) if intpart else 0
    denom = 16**len(fracpart) if fracpart else 1
    numer = int(fracpart, 16) if fracpart else 0
    # 全体を分数で表す
    return Fraction(int_val * denom + numer, denom)
print(hex_frac_to_fraction("3A.5C"))  # -> 3735/64

FAQ

Q. なぜ分母が 64 になるのですか？
A. 小数部 .5C は2桁なので最初は分母が

1 6^{2} = 256

だが、全体を既約に約分すると

\frac{14940}{256} = \frac{3735}{64}

になるため最終的に 64 になります。

Q. 16進小数は必ず有限小数になりますか？
A. はい。16進で有限桁の表現は 16 の素因数（2）のみで生成される分母なので必ず有限の分数表現（有理数）になります。10進で有限かどうかとは別の話です。

Q. 桁数が多いときの実務上の注意点は？
A. 通分時・約分時に誤差を出さないために分母・分子を整数演算（ライブラリの分数型）で扱い、最後に約分するのが安全です。

関連キーワード: 16進数, 進数変換, 基数変換, 16進小数, 分数表現, 小数→分数, 2進数, 約分, 通分, 16進→10進

← 前の問題へ次の問題へ →

\ せっかくなら /

基本情報技術者を
クイズ形式で学習しませんか？

クイズ画面へ遷移する→

すぐに利用可能！