基本情報技術者 2010年春期午前（科目A）問41

問題文

パスワードに使用できる文字の種類の数を

M

、パスワードの文字数を

n

とするとき、設定できるパスワードの理論的な総数を求める数式はどれか。

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選択肢

ア：

M^{n}

（正解）

イ：

M! / (M - n)!

ウ：

M! / (n! (M - n)!)

エ：

(M + n - 1)! / (n! (M - 1)!)

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順列組合せによるパスワード総数【午前解説】

正解の理由

ア：

M^{n}

が正解です。パスワードは左から右へ文字の並び（順序）が意味を持ち、同じ文字を複数回使える設定が通常想定されます。各位置ごとに

M

個の選択肢があり、独立した選択を

n

回行うので乗法原理により総数は

M \times M \times \dots \times M = M^{n}

となります。

解法ステップ

問題文で「何を数えるか」を確認：ここは設定できるパスワード全体の総数。
順序が重要か確認：パスワードは文字列で順序が重要（例 "ab" ≠ "ba"）。
重複が許されるか確認：通常は同じ文字を何度でも使える＝重複可。
乗法原理を適用：各位置に $M$ 通り、 $n$ 位置あるため $M^{n}$ を採用。

選択肢別の誤答解説

ア: $M^{n}$ — 正解。順序あり・重複ありの場合の総数。例： $M = 26, n = 3$ なら $2 6^{3} = 17576$ .
イ: $M! / (M - n)!$ — 順列（順序あり・重複なし）です。文字の再利用が禁止されている場合に適用。 $M = 26, n = 3$ なら $26 \times 25 \times 24 = 15600$ .
ウ: $M! / (n! (M - n)!)$ — 組合せ（順序なし・重複なし）で、どの文字を含むかだけを選ぶ場合。 $M = 26, n = 3$ なら $2600$ .
エ: $(M + n - 1)! / (n! (M - 1)!)$ — 重複組合せ（順序なし・重複あり）。順序を無視して重複を許す場合に使う。 $M = 26, n = 3$ なら $3276$ 。

（数値例で違いを確かめると直感的に理解しやすく、順序あり重複ありが最も多くなる場合が多いことが分かります。）

よくある誤解

「パスワードでは同じ文字を使えない」と誤解して $M! / (M - n)!$ を選ぶ場合。ほとんどのシステムは重複を許します。
「並び方は関係ない」と考え組合せ $M! / (n! (M - n)!)$ を選ぶミス。パスワードは順序が重要です。
重複ありだが順序を考えない問題（まれ）と混同し、選択肢エを正解と誤認すること。

補足コラム

パスワードの強度はエントロピーで表せます。候補総数が $M^{n}$ の場合、ビット単位のエントロピーは $lo g_{2} (M^{n}) = n lo g_{2} M$ です。たとえば $M = 26$ （小文字のみ）で $n = 8$ のとき約 $8 \times lo g_{2} 26 \approx 37.6$ ビットの強度になります。
実務では文字種（大文字・小文字・数字・記号）を増やすことで $M$ を大きくし、同じ長さで強度を上げることができます。
文字の重複を禁止する特殊なポリシーがある場合はイの式を使いますが、多くのシステムでは適用されません。

FAQ

Q1: もし文字を使い回せない（重複禁止）なら式は何ですか？
A1: その場合は順列の式

M! / (M - n)!

を使います（順序あり・重複なし）。

Q2: 順序を無視するケースはありますか？
A2: 典型的なパスワードではありませんが、選んだ文字の集合だけを扱う問題なら組合せ

M! / (n! (M - n)!)

を使います。

Q3: 大きな

M^{n}

を計算する方法は？
A3: 直接表示できない場合は対数（

lo g_{10}

や

lo g_{2}

）を使って桁数やエントロピーを評価します。例えばビット数は

n lo g_{2} M

です。

関連キーワード: 組合せ、順列、重複組合せ、場合の数、乗法原理、パスワード、エントロピー、組合せ数学

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