基本情報技術者 2011年 秋期 午前（科目A） 問26

論理式 X = \overline{A}\cdot B + A\cdot \overline{B} + \overline{A}\cdot \overline{B} と同じ結果が得られる論理回路はどれか【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：論理式は簡単に $X=\overline{A}+\overline{B}$ に整理され、これは $A$ と $B$ のANDの否定、すなわちNANDに等しい。
• 根拠：$\overline{A}B+\overline{A}\overline{B}=\overline{A}(B+\overline{B})=\overline{A}$ で整理し、さらに $\overline{A}+A\overline{B}=\overline{A}+\overline{B}$ とすることで導出できる。
• 差がつくポイント：選択肢の小さな「バブル（否定）」の有無でAND/NAND/OR/NORが区別でき、NANDはANDの出力側にバブルが付いた図で表される。

正解の理由

よくある誤解

• 「項をそのまま見てXOR（排他的論理和）だと思う」：$\overline{A}B+A\overline{B}$ は確かにXORですが、さらに $\overline{A}\overline{B}$ が加わっているので結果はXORとは異なります。
• 「バブル＝否定は入力側だけでなく出力でも同じ意味と誤認する」：出力側のバブルは全体の出力の否定を表し、ゲートの種類（ANDかORか）と組み合わせて機能を決めます。
• 「$\overline{A}+\overline{B}$ を見てNOR（否定OR）と混同する」：$\overline{A}+\overline{B}$ は否定された入力をORした形で、これは $A\cdot B$ の否定（NAND）であり、ORの否定（NOR）は $\overline{A+B}$ で異なります。

解法ステップ

1. 式を部分ごとに整理：$\overline{A}B+\overline{A}\overline{B}=\overline{A}(B+\overline{B})=\overline{A}$.
2. 残りを合成：$X=\overline{A}+A\overline{B}$.
3. 分配・吸収で簡約：$\overline{A}+A\overline{B}=\overline{A}+\overline{B}$.
4. ド・モルガンで回路に対応：$\overline{A}+\overline{B}=\overline{A\cdot B}$ → ANDに出力否定（NAND）。
5. 図を確認してAND形状で出力にバブルがある選択肢を選ぶ（イ）。

選択肢別の誤答解説

• ア（AND、バブルなし）
  出力は $A\cdot B$ となり、式で得られる $\overline{A}+\overline{B}=\overline{A\cdot B}$ と合いません。否定が欠けています。
• ウ（OR、バブルなし）
  出力は $A+B$ で、求める $\overline{A}+\overline{B}$ や $\overline{A\cdot B}$ とは別の論理です。
• エ（OR の出力にバブル＝NOR）
  出力は $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$ で、求める $\overline{A}+\overline{B}$（NAND）とは真理値が異なります。
• イ（AND に出力バブル＝NAND）
  出力は $\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$ で、元の式と一致します（正解）。

補足コラム

• A=0,B=0 → 元式:1、NAND:1
• A=0,B=1 → 元式:1、NAND:1
• A=1,B=0 → 元式:1、NAND:1
• A=1,B=1 → 元式:0、NAND:0

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