基本情報技術者 2011年 秋期 午前（科目A） 問32

関係演算 R-(R-S) の結果はどれか 【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論：R-(R-S) は R と S の共通部分、すなわち $R\cap S$ と等しくなります。属性が同一である前提です。
• 根拠：要素 $x$ が $R-(R-S)$ に入るのは $x\in R$ かつ $x\notin (R-S)$、この条件は $x\in R$ かつ $x\in S$ と同値だからです。
• 差がつくポイント：集合の元をひとつ取り出して「入る／入らない」を考えることで、集合式の等価性を確実に示せます。計算ミスは論理の漏れが原因です。

正解の理由

よくある誤解

• 「差集合の外側を取れば元の集合に戻る」と誤解して $R-(R-S)=R$ と答えてしまうこと。$R-S$ から引いた分を取り戻すわけではありません。
• 演算記号を単なる記号的操作と見なし、要素ごとの論理（存在条件）を考えないで暗算するために間違えること。
• 直積や商を選ぶ人は「要素の組み合わせ」や「除算」を混同しており、属性一致と集合演算の違いを見落としています。

解法ステップ

1. 「x が集合に属する」視点で問題を読み替える：x ∈ R-(R-S) の定義を確認する。
2. 条件を分解する：x ∈ R かつ x ∉ (R-S)。ここで x ∉ (R-S) を論理和に展開する。
3. R の条件と組み合わせて簡約する：x ∈ R かつ (x ∉ R または x ∈ S) → x ∈ R かつ x ∈ S。
4. 結果を集合記法で表すと $R\cap S$ になり、選択肢と照合する。

選択肢別の誤答解説

• ア: R$\cap$S — 正解。上記の論理展開により等しいことが示されます。
• イ: R$\cup$S — 誤り。和集合は R または S に含まれる全ての要素を含み、差集合の除去操作とは方向が逆です。
• ウ: R×S — 誤り。直積はタプルの組を生成する操作で、要素の選択条件（包含／除外）とは次元が違います。
• エ: R÷S — 誤り。商（除算）は概念的に「R のうち S に対応する条件を満たす行」を求める特殊操作で、この差集合の単純な論理式とは一致しません。

補足コラム

• 直感的な例を示します。R={1,2,3}, S={2,4} のとき、まず $R-S=\{1,3\}$、次に $R-(R-S)=\{2\}$ であり $R\cap S=\{2\}$ と一致します。
• 関係代数では属性（列）の集合が同じであることが集合演算の前提です。属性が異なると和や差、交差は定義できません。
• SQL で同様の操作を表す場合、R INTERSECT S は $R\cap S$ に対応し、R EXCEPT (R EXCEPT S) は同じ結果になることを確認できます（DBMS により EXCEPT の挙動に注意）。

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