基本情報技術者 2012年春期午後問01

浮動小数点数に関する次の記述を読んで、設問1，2に答えよ。

(1)

α \times 2^{β}

の形で表記される浮動小数点数を、図1に示す32ビット単精度浮動小数点形式（以下、単精度表現という）で表現する。ここで、αとβは次の条件を満たすものとする。　α = 0、又は 1 ≦ |α| < 2 　−126 ≦ β ≦ 127

　① 符号部（ビット番号31）　　αの値が正のとき0、負のとき1が入る。　② 指数部（ビット番号30〜23）　　βの値に127を加えた値が2進数で入る。　③ 仮数部（ビット番号22〜0）　　|α|の整数部分1を省略し、残りの小数部分が、ビット番号22に小数第1位が来るような2進数で入る。　　ただし、αの値が0の場合、符号部、指数部、仮数部ともに0とする。

(2) 例えば、10進数の0.75を2進数で表すと、

(0.11)_{2}

となる。これは

(1.1)_{2} \times 2^{- 1}

と表記でき、単精度表現では、図2のとおり、符号部は

(0)_{2}

、指数部は−1に127を加えて

(01111110)_{2}

となり、仮数部は

(1.1)_{2}

の小数部分が入るので、

(100 \dots 0)_{2}

となる。ここで、00…0は0が連続していることを表す。

設問1：

問題文を見る

　次の単精度表現が表す数値として正しい答えを、解答群の中から選べ。

解答群　ア：3×

2^{- 125}

　イ：3×

2^{- 122}

　ウ：3×

2^{5}

　エ：3×

2^{132}

　オ：11×

2^{- 125}

　カ：11×

2^{- 122}

　キ：11×

2^{5}

　ク：11×

2^{132}

模範解答

オ

解説

解答の導き方

この問題では、ビット列を「符号部」「指数部」「仮数部」に分け、それぞれから数値を読み取ります。

符号を確認します。
ビット31は「0」です。問題文では、符号部が0なら正の数を表します。したがって、答えは正の数です。
指数部から指数の値を求めます。
ビット30〜23は「00000101」です。これは2進数で、10進数の5です。
問題文には「βの値に127を加えた値が2進数で入る」とあります。つまり、指数部の値は実際の指数βに127を加えた値です。したがって、

$β + 127 = 5$

$β = 5 - 127 = - 122$

です。
仮数部から、1より小さい部分を読み取ります。
ビット22から順に「0、1、1」です。問題文では、仮数部には整数部分の1を省略して、小数部分を入れると説明されています。
2進数の小数第1位、第2位、第3位は、それぞれ $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{8}$ の位です。そのため、仮数部は次の値になります。

$0.01 1_{2} = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

省略されている整数部分の1を戻すと、

$α = 1.01 1_{2} = 1 + \frac{3}{8} = \frac{11}{8}$

です。
$α \times 2^{β}$ の形に当てはめます。
$α = \frac{11}{8} = 11 \times 2^{- 3}$ 、 $β = - 122$ なので、

$α \times 2^{β} = 11 \times 2^{- 3} \times 2^{- 122} = 11 \times 2^{- 125}$

となります。したがって、該当する選択肢はオです。

誤りやすいポイント

指数部の値を、そのまま実際の指数だと思うこと
指数部に入るのは、実際の指数に127を加えた値です。この問題では、指数部の値5から127を引いて、実際の指数を求めます。
仮数部を小数部分だけで読むこと
仮数部には整数部分の1が省略されています。仮数部が $0.01 1_{2}$ でも、 $α$ は $0.01 1_{2}$ ではなく、 $1.01 1_{2}$ です。
2進数の小数の位を取り違えること
小数点の右側は、左から順に $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{8}$ の位です。この問題では、最初の桁が0なので、値は $\frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ です。

FAQ

Q：指数部の5は、なぜ実際の指数ではないのですか？
A：単精度表現では、指数部に実際の指数βではなく、βに127を加えた値を入れる決まりだからです。このため、実際の指数を求めるときは127を引きます。

Q：仮数部の先頭にある1は、なぜビット列に書かれていないのですか？
A：問題文の形式では、

α

の整数部分の1を省略する決まりだからです。仮数部から読み取った小数部分に、整数部分の1を加えて

α

を求めます。

Q：最後に指数が $- 125$ になるのはなぜですか？
A：

α = \frac{11}{8} = 11 \times 2^{- 3}

なので、元の指数

- 122

に

- 3

を足します。したがって、

- 3 + (- 122) = - 125

です。

関連キーワード: 浮動小数点数、単精度浮動小数点形式、符号部、指数部、仮数部

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設問2：

問題文を見る

　次の記述中のに入れる正しい答えを、解答群の中から選べ。　　二つの浮動小数点数AとBの減算と乗算を行う。

(1) 減算A − Bを、次の手順①〜③で行う。　① 指数部の値を大きい方に合わせる。Aが

(1.01)_{2} \times 2^{5}

であることから、Bを(a)

_{2} \times 2^{5}

とする。　② 減算を行う。　　((1.01)

_{2}

− (a)

_{2}

) ×

2^{5}

= (1.0)

_{2}

× 2のb乗　③ ②の結果を単精度表現する。その結果はcとなる。

(2) 乗算A × Bの結果は(d)

_{2}

2^{9}

となる。　 aに関する解答群　ア：0.011 　イ：0.101 　ウ：0.11 　エ：1.01 　オ：1.1 　 bに関する解答群　ア：3 　イ：4 　ウ：5 　エ：6 　オ：131 　カ：132 　 cに関する解答群基本情報技術者試験（平成24年午後問1 設問2 cに関する解答群）

dに関する解答群　ア：1.0 　イ：1.11 　ウ：1.1101 　エ：1.111 　オ：1.1111

模範解答

a：ウ、b：イ、c：イ、d：エ

解説

解答の導き方

浮動小数点数は、数値を「仮数と

2

のべき乗の積」で表す方法です。この問題では、仮数が

1

以上

2

未満になるように表します。単精度表現では、仮数の先頭の

1

はビットに記録せず、その後の小数部分を仮数部に記録します。

まず、図のAとBから、それぞれの指数と仮数を読み取ります。

Aの指数部は $(10000100)_{2}$ です。これは $132$ なので、指数の値は $132 - 127 = 5$ です。仮数部の先頭のビットは $0, 1$ なので、先頭の省略された $1$ を補うと、Aは $(1.01)_{2} \times 2^{5}$ です。
Bの指数部は $(10000011)_{2}$ です。これは $131$ なので、指数の値は $131 - 127 = 4$ です。仮数部の先頭のビットは $1$ なので、先頭の省略された $1$ と合わせると、Bは $(1.1)_{2} \times 2^{4}$ です。

(1) 減算 $A - B$

① 指数をそろえます。

問題文には「指数部の値を大きい方に合わせる」とあります。Aの指数は

5

、Bの指数は

4

なので、Bを指数

5

の形に直します。指数を

1

増やすと、同じ値を保つために仮数は半分になります。

(1.1)_{2} \times 2^{4} = (0.11)_{2} \times 2^{5}

したがって、aには

(0.11)_{2}

が入り、解答群ではウです。

② 仮数を引き算します。

(1.01)_{2} - (0.11)_{2} = (0.10)_{2}

これは、十進数では

1.25 - 0.75 = 0.5

と同じ計算です。よって、指数も含めた結果は次のとおりです。

(0.10)_{2} \times 2^{5} = (0.1)_{2} \times 2^{5} = (1.0)_{2} \times 2^{4}

最後の等式では、仮数を

(0.1)_{2}

から

(1.0)_{2}

にするため、指数を

5

から

4

に下げています。したがって、bは

4

で、解答群ではイです。

③ 結果を単精度表現にします。

結果は正の数なので、符号部は

0

です。指数は

4

なので、指数部には

4 + 127 = 131

を入れます。

131

は

(10000011)_{2}

です。仮数は

(1.0)_{2}

で、先頭の

1

は記録しないため、仮数部はすべて

0

になります。

つまり、符号部が

0

、指数部が

(10000011)_{2}

、仮数部がすべて

0

の行を選びます。図の選択肢では cはイ です。

(2) 乗算 $A \times B$

A = (1.01)_{2} \times 2^{5}

、

B = (1.1)_{2} \times 2^{4}

なので、仮数どうしを掛け、指数どうしを足します。

(1.01)_{2} \times (1.1)_{2} = (1.111)_{2}

たとえば、

(1.01)_{2} = 1 + \frac{1}{4}

、

(1.1)_{2} = 1 + \frac{1}{2}

なので、積は

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 1.875 = (1.111)_{2}

です。また、指数は

5 + 4 = 9

です。

したがって、乗算の結果は

(1.111)_{2} \times 2^{9}

となり、dはエです。

誤りやすいポイント

指数部に入っている値は、そのままの指数ではありません。問題文のとおり、指数に $127$ を加えた値が格納されています。元の指数を求めるときは、格納値から $127$ を引きます。
指数をそろえるとき、指数を大きくするなら仮数は小さくします。Bの指数を $4$ から $5$ にするので、仮数は $(1.1)_{2}$ から $(0.11)_{2}$ になります。
仮数部には、先頭の $1$ を記録しません。結果が $(1.0)_{2}$ の場合、仮数部には小数部分の $0$ だけが並びます。
減算の答え $(0.10)_{2}$ は、単精度表現で使う形に整える必要があります。 $(1.0)_{2} \times 2^{4}$ と表すため、bは $5$ ではなく $4$ です。
乗算では、仮数を掛け、指数を足します。指数を掛けたり、仮数どうしを足したりしないように注意します。

FAQ

Q: 指数部の値に

127

を加えるのはなぜですか？
A: 指数部を、負の数を含む指数もビットで表せる形にするためです。この問題では、実際の指数を求めるときに、格納値から

127

を引きます。

Q: 仮数部に先頭の

1

を記録しないのはなぜですか？
A:

0

でない数は、仮数の整数部分が

1

になる形で表すためです。先頭が必ず

1

になるので、そのビットを省略し、残りの小数部分を記録します。

Q: 減算のあとに仮数を整えるのはなぜですか？
A: 単精度表現では、

0

でない数の仮数を

1

以上

2

未満の形にするためです。

(0.10)_{2}

のままではこの条件に合わないので、

(1.0)_{2}

に直し、その分だけ指数を調整します。

関連キーワード: 浮動小数点数、単精度浮動小数点形式、指数部、仮数部、指数バイアス、2進数

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