基本情報技術者 2012年春期午前（科目A）問01

問題文

次の10進小数のうち、8進数に変換したときに有限小数になるものはどれか。

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選択肢

ア：0.3

イ：0.4

ウ：0.5（正解）

エ：0.8

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基数変換の有限小数条件【午前解説】

正解の理由

8進数は基数が

8 = 2^{3}

なので、ある10進分数が8進で有限小数になるためには、その分数の既約分母が2だけを素因数に持つ必要があります。
選択肢を分数にすると、ア:

0.3 = 3/10

（分母に5）、イ:

0.4 = 2/5

（分母に5）、エ:

0.8 = 4/5

（分母に5）でいずれも5を含むため8進では循環小数になります。
ウ:

0.5 = 1/2

は既に分母が2で、2だけの素因数なので8進で有限小数となります。よって正解はウです。

解法ステップ

各10進小数を分数で表す（小数第1位なら分母は10、第2位なら100など）。
分子・分母を既約化して分母の素因数を調べる。
8の素因数は2のみなので、分母が $2^{k}$ の形なら8進で有限小数となる。
当てはまるもの（ウ: $0.5 = 1/2$ ）を選ぶ。

選択肢別の誤答解説

ア: 0.3 = $3/10$ → 既約化しても分母に5が残るため、8進では循環小数になります。
イ: 0.4 = $4/10 = 2/5$ → 既約化すると分母が5。8進で有限にはなりません。
ウ: 0.5 = $5/10 = 1/2$ → 既約分母が2なので8進で有限。正解です。
エ: 0.8 = $8/10 = 4/5$ → 既約化しても分母に5が残るため、8進では循環小数になります。

よくある誤解

「10進で有限＝他の基数でも有限」と考える誤り。基数に含まれない素因数（ここでは5）があると循環になります。
分数化や既約化を省略して見た目の小数だけで判断するミス。0.4や0.8は簡単に約分すると分母が5になることを見落としやすいです。
「基数の冪だけ確認すればよい」ことは正しいが、基数の素因数を具体的に確認する（8なら2のみ）習慣が重要です。

補足コラム

一般に、基数

b

（例えば8）の進数表示で有限小数になるのは、分数の既約分母が

b

の素因数だけで構成される場合です。

10進（ $10 = 2 \cdot 5$ ）で有限 → 分母は2と5だけ。
8進（ $8 = 2^{3}$ ）で有限 → 分母は2だけ。
他の基数への変換問題でも同じ考え方を使えば短時間で判定できます。

具体例（形式的な変換）:

0. 5_{10} = 1/2

を8進に変換すると、

0.5 \times 8 = 4

で余り0なので

0. 4_{8}

が得られ、有限であることが確認できます。

FAQ

Q: 「10進で有限なら必ず他の進数でも有限ですか？」
A: いいえ。10進で有限でも他の基数に特定の素因数が無ければ循環になります。基数の素因数を確認してください。

Q: どのようにしてすばやく判定できますか？
A: 小数を既約分数にして分母の素因数を見るだけです。8進なら分母に5が含まれている時点で不適です。

Q: 0.125（=1/8）は8進でどうなりますか？
A: 0.125=1/8で既約分母が8（

2^{3}

）なので8進では有限、小数で書くと

0. 1_{8}

です。

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