基本情報技術者 2014年 秋期 午前（科目A） 問03

32ビットで表現できるビットパターンの個数は、24ビットで表現できる個数の何倍か。【午前2 解説】

要点まとめ

• 結論→32ビットは24ビットより $2^8=256$ 倍多くのビットパターンを表現でき、選択肢では エ が正解です。（具体的には $2^{32}=4,294,967,296$ 対 $2^{24}=16,777,216$）
• 根拠→nビットで表現できる組合せ数は常に $2^n$ 個であり、比は指数法則により $2^{32}/2^{24}=2^8$ と導かれます。
• 差がつくポイント→ビットの差（32−24=8）を「そのまま掛ける」と誤る受験者が多く、指数法則 $2^a/2^b=2^{a-b}$ を即座に使えるかが得点差になります。

正解の理由

よくある誤解

• 「ビット差8だから8倍」と考える誤り：差の数そのものを倍数と見なすのではなく、組合せ数は2の冪乗で変わります。
• 「2^7=128を思い浮かべるミス」：計算途中でべき乗の指数を1つ少なく見積もるミスが起きやすいです。
• ビットとバイトを混同して「8倍＝1バイト分」と直感的に扱ってしまうが、1バイトは8ビットであり「1バイト分の情報量＝$2^8=256$通り」であることを明確にする必要があります。

解法ステップ

1. 「nビットで表現できる個数＝$2^n$」という基本公式を確認する。
2. 32ビットと24ビットの個数をそれぞれ $2^{32}$ 、 $2^{24}$ と表す。
3. 比を計算する：$\frac{2^{32}}{2^{24}}=2^{32-24}=2^8$。
4. $2^8=256$ を評価して選択肢と照合する。

選択肢別の誤答解説

• ア: 8 — 「32−24=8だから8倍」と考えた場合の誤り。差のビット数は指数の差であり、そのままの数値は倍数ではありません。
• イ: 16 — $16=2^4$ を使った誤り。ビット差を4と誤認した、あるいは半分の指数を誤って使ったケースが想定されます。
• ウ: 128 — $128=2^7$ であり、正しい指数 $2^8$ を1ビット分小さく見積もった誤りです。
• エ: エ（256） — 正解。$2^8=256$ に一致します。

補足コラム

• 実際の数値例：$2^{24}=16,777,216$（24ビット）、$2^{32}=4,294,967,296$（32ビット）。比はちょうど256倍です。
• 24ビットカラー（RGB各8ビット）と32ビットカラー（αチャネル付）を比較すると、32ビットは色の組合せ自体は同じでもαチャネル分だけさらに256通りの状態を追加できます。
• 「ビット数の差＝バイト数」に注目すると、32ビットと24ビットの差は8ビット＝1バイトであり、1バイトの情報量が256通りであることと対応します。

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